例 2.31将有理函数化为部分分式

$$\frac{3x}{(x-1)(x+2)}$$

解本例中分母有两个不同的线性因子 $(x-1)$ 和 $(x+2)$ ，因此对应的部分分式形式为

$$\frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} = \frac{A(x+2) + B(x-1)}{(x-1)(x+2)}$$

其中 $A$ 和 $B$ 是待确定的常数。由于两个表达式相等且分母相同，因此必须使它们的分子相等，得到

$$3x = A(x+2) + B(x-1)$$

该恒等式对所有 $x$ 的值都成立，因此我们可以求出 $A$ 和 $B$ 通过先设置 $x = 1$ 然后 $x = -2$ 。因此

$$x = 1 \text{ gives } 3 = A(3) + B(0); \text{ that is } A = 1$$

和

$$x = -2 \text{ gives } -6 = A(0) + B(-3); \text{ that is } B = 2$$

于是

$$\frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2}$$

当分母 $q(x)$ 严格真有理函数的 $\frac{p(x)}{q(x)}$ 是线性因子的乘积时，如例 2.31 所示，有一种快速的方法将 $\frac{p(x)}{q(x)}$ 表示为部分分式。

再次考虑例 2.31，如果

$$\frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-2)}$$

那么为了得到 $A$ 只需掩盖掉该因子 $(x-1)$ 在

$$\frac{3x}{(x-1)(x+2)}$$

然后计算剩下部分在 $x = 1$ 处的值，得到

$$A = \frac{3(1)}{(x-1)(1+2)} = 1$$