$$\text{right-hand side} = -\frac{\frac{5}{3}}{1-2} - \frac{\frac{1}{12}}{1+1} + \frac{\frac{7}{4}}{1-3} = \frac{3}{4}$$

给出一个正的勾号。

(b) 重复的线性因子

每个 $k$ 次重复的线性因子，形如 $(x - \alpha)^k$ ，在分母中 $q(x)$ 将产生一个形如

$$\frac{A_1}{(x - \alpha)} + \frac{A_2}{(x - \alpha)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x - \alpha)^k}$$

的部分分式，其中 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 是实常数。

例 2.33

将有理函数表示为部分分式

$$\frac{3x + 1}{(x - 1)^2(x + 2)}$$

解

在这种情况下，分母由不同的线性因子 $(x + 2)$ 和二次重复的线性因子组成 $(x - 1)$ . 因此，相应的部分分式具有如下形式

$$\begin{aligned} \frac{3x + 1}{(x - 1)^2(x + 2)} &= \frac{A}{(x - 1)} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x + 2)} \ &= \frac{A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x + 2)} \end{aligned}$$

由此得到

$$3x + 1 = A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2$$

设 $x = 1$ 得到 $4 = B(3)$ 和 $B = \frac{4}{3}$ . 设 $x = -2$ 得到 $-5 = C(-3)^2$ 和 $C = -\frac{5}{9}$ . 为了得到 $A$ 我们可以给出 $x$ 任何其他值，因此取 $x = 0$ 得到

$$1 = (-2)A + 2B + C$$

并代入 $B$ 和 $C$ 的值，得到 $A = \frac{5}{9}$ 。因此

$$\frac{3x + 1}{(x - 1)^2(x + 2)} = \frac{\frac{5}{9}}{x - 1} + \frac{\frac{4}{3}}{(x - 1)^2} - \frac{\frac{5}{9}}{(x + 2)}$$

(c) 不可约二次因式

分母中每个形如 $(ax^2 + bx + c)$ 的不同不可约二次因式 $q(x)$ 都会产生一个形如的部分分式

$$\frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}$$