例 2.34将有理函数化为部分分式

$$\frac{5x}{(x^2 + x + 1)(x - 2)}$$

解本例中分母由互异的一次因式 $(x - 2)$ 和互异的不可约二次因式 $(x^2 + x + 1)$ 组成。因此，相应的部分分式具有如下形式

$$\frac{5x}{(x^2 + x + 1)(x - 2)} = \frac{Ax + B}{x^2 + x + 1} + \frac{C}{x - 2} = \frac{(Ax + B)(x - 2) + C(x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)(x - 2)}$$

得到

$$5x = (Ax + B)(x - 2) + C(x^2 + x + 1)$$

令 $x = 2$ 使我们能够计算出 $C$ :

$$10 = (2A + B)(0) + C(7) \quad \text{and} \quad C = \frac{10}{7}$$

然而，这里我们不能选取的特殊值 $x$ 使得 $A$ 和 $B$ 立即得出，因为 $x^2 + x + 1$ 是一个不可约二次式，无法因式分解。于是我们利用前面所述的多项式性质 (i)（见第 2.4.1 节），该性质指出：如果两个多项式对所有 $x$ 的取值都相等，那么对应的系数也相等。将其应用于

$$5x = (Ax + B)(x - 2) + C(x^2 + x + 1)$$

，我们看到右边的 $x^2$ 的系数是 $A + C$ ，而左边的系数为零。因此

$$A + C = 0 \quad \text{and} \quad A = -C = -\frac{10}{7}$$

类似地，右边的 $x^0$ 的系数是 $-2B + C$ ，而左边的系数为零，于是我们得到 $-2B + C = 0$ ，这意味着 $B = \frac{1}{2}C = \frac{5}{7}$ . 因此

$$\frac{5x}{(x^2 + x + 1)(x - 2)} = \frac{\frac{5}{7} - \frac{10}{7}x}{x^2 + x + 1} + \frac{\frac{10}{7}}{x - 2}$$

例 2.35 将该有理函数表示为部分分式

$$\frac{3x^2}{(x - 1)(x + 2)}$$

解 在本例中，分子的次数与分母相同。

在此类例题中，第一步是用分母去除分子，得到一个多项式和一个严格真分式有理函数。因此

$$\frac{3x^2}{(x - 1)(x + 2)} = 3 + \frac{6 - 3x}{(x - 1)(x + 2)}$$