然后我们对余式应用部分分式法，设

$$\begin{aligned}\frac{6 - 3x}{(x - 1)(x + 2)} &= \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} \ &= \frac{A(x + 2) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}\end{aligned}$$

得到

$$6 - 3x = A(x + 2) + B(x - 1)$$

先设 $x = 1$ 再设 $x = -2$ 可得 $A = 1$ 和 $B = -4$ 。因此

$$\frac{3x^2}{(x - 1)(x + 2)} = 3 + \frac{1}{x - 1} - \frac{4}{x + 2}$$

方法小结

一般而言，求给定函数 $f(x) = p(x)/q(x)$ 的部分分式的方法包含以下步骤。

第 1 步： 如果 $p$ 的次数大于或等于 $q$ , 除以 $q$ 得到 $p$ ，其中

$$f(x) = r(x) + \frac{s(x)}{q(x)}$$

的次数小于 $s$ 的次数。

第 2 步： 将 $q$ 完全分解为实一次因式和不可约二次因式的乘积，并把所有相同的因式合并在一起。

第 3 步： 中的每个一次因式 $q(x)$ 在 $ax + b$ 中会产生一个如下类型的分式 $q(x)$ （这里

$$\frac{A}{ax + b}$$

$a$ 和 $b$ 已知，而 $A$ 待求。）

每个重复线性因式 $(ax + b)^n$ 都会产生 $n$ 类型的分式

$$\frac{A_1}{ax + b} + \frac{A_2}{(ax + b)^2} + \frac{A_3}{(ax + b)^3} + \dots + \frac{A_n}{(ax + b)^n}$$

每个不可约二次因式 $ax^2 + bx + c$ 在 $q(x)$ 中都会产生一个如下类型的分式

$$\frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}$$

每个重复不可约二次因式 $(ax^2 + bx + c)^n$ 都会产生 $n$ 分数类型

$$\frac{A_1x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \frac{A_2x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \dots + \frac{A_nx + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n}$$