将 $p(x)/q(x)$ （或 $s(x)/q(x)$ ，如果出现该情况）设为等于所有涉及的分式之和。

第 4 步： 将等式两边同乘以 $q(x)$ ，得到一个包含多项式的恒等式，由此可以求出线性组合中的乘法常数（依据性质 (i)（见第 2.4.1 节））。

第 5 步： 为求出这些系数，可采用两种策略。

• • 策略 1： 选取特殊的 $x$ 值，使未知系数易于求出：例如，依次取 $x$ 等于 $q(x) = 0$ 的各个根，并使用“遮盖”法则。
• • 策略 2： 比较恒等式两边 $x$ 的同次幂的系数。通常从最高次幂和最低次幂开始比较会更容易。

策略 1 可能会留下一些未确定的系数。此时我们用策略 2 来完成该过程。

第 6 步： 最后，通过为 $x$ 或者将部分分式通分。

2.5.2 习题

在适当的情况下，使用 MATLAB 检查你的答案。

39 将下列假分式有理函数表示为一个多项式函数与一个严格真分式有理函数之和。

(a) $f(x) = (x^2 + x + 1)/[(x + 1)(x - 1)]$

(b) $f(x) = (x^5 - x^4 - x + 1)/(x^2 + x + 1)$

40 将其表示为单个分数

(a) $\frac{1}{x} - \frac{2}{x-2} + \frac{x-1}{x^2+1}$

(b) $\frac{1}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} - \frac{1}{x^3 - x^2 - x + 1}$

(c) $\frac{x+1}{x^2+1} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-2}$

41 将其表示为部分分式

(a) $\frac{1}{(x+1)(x-2)}$

(b) $\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}$

(c) $\frac{x^2-2}{(x+1)(x-2)}$

(d) $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)^2}$

(e) $\frac{1}{(x+1)(x^2+2x+2)}$

(f) $\frac{1}{(x+1)(x^2-4)}$

42 将其表示为部分分式

(a) $\frac{1}{x^2-5x+4}$

(b) $\frac{1}{x^3-1}$

(c) $\frac{3x-1}{x^3-3x-2}$

(d) $\frac{x^2-1}{x^2-5x+6}$

(e) $\frac{x^2+x-1}{(x^2+1)^2}$

(f) $\frac{18x^2-5x+47}{(x^2+4)(x-1)(x+5)}$