2.5.3 渐近线

绘制有理函数的图像引出了渐近线的概念。为了说明这一点，让我们考虑函数的图像

$$y = f(x) = \frac{x}{1+x} \quad (x > 0)$$

及其反函数的图像

$$y = f^{-1}(x) = \frac{x}{1-x} \quad (0 \leq x < 1)$$

将 $x/(x + 1)$ 表示为 $(x + 1 - 1)/(x + 1) = 1 - 1/(x + 1)$ ，我们可以看到，随着 $x$ 越来越大， $1/(x + 1)$ 越来越小，因此 $x/(x + 1)$ 越来越接近数值 1。这在图 2.39(a) 所示的 $y = f(x)$ 的图像中得到了说明。直线 $y = 1$ 称为该曲线的水平渐近线，我们注意到，的图像 $f(x)$ 当 x 趋于无穷大时，函数趋近于该渐近线。

反函数的图像 $|x|$ 如图 2.39(b) 所示，直线 $y = f^{-1}(x)$ 被称为该曲线的垂直渐近线。

渐近线的存在是有理函数图像的一个常见特征。它们出现在各种工程应用中，例如控制工程中绘制根轨迹图。在数学应用于工程的更高级场景中，渐近线的概念被广泛用于进行近似计算。渐近线不一定是水平线或垂直线；它们可以是斜线，甚至可以是非线性曲线，正如我们将在例 2.37 中看到的那样。 $x = 1$ 图 2.39
水平渐近线与
垂直渐近线。