例 2.36画出函数的图像

$$y = \frac{1}{3-x} \quad (x \neq 3)$$

并求出使 $x$ 成立的

$$\frac{1}{3-x} < 2$$

的值 $y$ 解从 $x = 3$ 的公式可以看出，直线 $x$ 是该函数的一条垂直渐近线。当 $x = 3$ 从左侧越来越接近值 $x < 3$ ), $y$ 时（即 $x$ 越来越大且为正。当从左侧越来越接近 $x = 3$ 从右侧（即， $x > 3$ ), $y$ 为负且很大。随着 $x$ 越来越大， $y$ 对两者都越来越小 $x > 0$ 和 $x < 0$ ，所以 $y = 0$ 是一条水平渐近线。因此我们得到如图 2.40 所示的草图。通过在草图上画出直线 $y = 2$ ，我们立刻看到

$$\frac{1}{3-x} < 2$$

对于 $x < \frac{5}{2}$ 和 $x > 3$ . 该结果已在例 1.24 中用代数方法求得。通常我们综合使用代数方法和图形方法来求解此类问题。

图 2.40 的图像 $y = \frac{1}{3-x}$ .

例 2.37 画出函数的图像

$$y = f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x + 1} \quad (x \neq -1)$$

解 我们首先找出函数为零的点。现在 $f(x) = 0$ 意味着 $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0$ ，由此我们推出 $x = 3$ 和 $x = -2$ 是函数的零点。因此图像 $y = f(x)$ 在 $x$ 轴上于 $x = -2$ 和 $x = 3$ 。

接下来我们找出有理函数分母为零的点，在本例中即 $x = -1$ 。当 $x$ 接近这样的点时， $f(x)$ 的值在大小上变得无穷大，而有理函数在这样的点处无定义。因此 $y = f(x)$ 的图像在 $x = -1$ 处有一条垂直渐近线。（通常