有理函数图像的一条竖直渐近线 $y = p(x)/q(x)$ 在分母为零的点处 $q(x) = 0$ 。

接下来我们考虑当 $x$ 越来越大时，即当 $x \rightarrow \infty$ 或 $x \rightarrow -\infty$ 时函数的行为。为此，我们首先通过代数除法化简该有理函数，得到

$$y = f(x) = x - 2 - \frac{4}{x+1}$$

当 $x \rightarrow \pm\infty$ , $4/(x + 1) \rightarrow 0$ 。因此，当 $x$ 取很大的值时，无论正负， $4/(x + 1)$ 相对于 $x$ , 因此 $f(x)$ 趋于表现得像 $x - 2$ 一样。因此直线 $y = x - 2$ 也是 $y = f(x)$ 的图像的一条渐近线。

确定了渐近线之后，我们还需要找出图像是如何逼近它们的。当 $x$ 很大且为正时，项 $4/(x + 1)$ 会很小但为正，因此 $f(x)$ 略小于 $x - 2$ 。所以图像从下方逼近渐近线。当 $x$ 很大且为负时，项 $4/(x + 1)$ 很小但为负，因此图像从上方逼近渐近线。为了考察函数在 $x = -1$ 附近的行为，我们考察因式分解后的形式

$$y = f(x) = \frac{(x - 3)(x + 2)}{x + 1}$$

当 $x$ 略小于 $-1$ , $f(x)$ 时，它为正。当 $x$ 略大于 $-1$ , $f(x)$ 时，它为负。

现在我们可以画出 $y = f(x)$ 的图像，如图 2.41 所示。

现代计算工具使函数作图变得容易得多，但要获得质量较好的图像，仍需进行一些预备分析。这有助于为自变量和函数选取正确的取值范围。例如，让计算机软件绘制函数

$$y = \frac{13x^2 - 34x + 25}{x^2 - 3x + 2}$$

图 2.41

的图像 $y = \frac{x^2 - x - 6}{x + 1}$ .