图 2.44
半立方抛物线的
图像
$x = t^3$ , $y = t^2$ ( $t \in \mathbb{R}$ )。

解答 水平方向和竖直方向的速度–时间图像如图 2.45(a) 和 (b) 所示。在时间 $t$ 之后的水平位移为 $x = ut$ （速度 $\times$ 时间），竖直位移为 $y = (v - \frac{1}{2}gt)t$ （平均速度 $\times$ 时间）。因此抛体的轨迹（以参数形式）由下式给出

$$x = ut, \quad y = vt - \frac{1}{2}gt^2$$

由于 $x = ut$ 我们可以写成 $t = x/u$ 。将其代入以下表达式 $y$ 给出

$$y = \frac{vx}{u} - \frac{gx^2}{2u^2}$$

这就是抛物线的方程。

配方后我们得到

$$y = \frac{v^2}{2g} - \frac{g}{2u^2} \left( \frac{uv}{g} - x \right)^2$$

由此可以看出抛体达到最大高度， $\frac{v^2}{2g}$ ，在 $x = \frac{uv}{g}$ 处。

抛体的射程可通过令 $y = 0$ 求得，得到 $x = \frac{2w}{g}$ 。抛体的运动轨迹如图 2.45(c) 所示。

图 2.45 (a) 速度–时间图（水平）。(b) 速度–时间图（竖直）。(c) 抛体的运动轨迹。

解

例 2.39 证明抛体在时刻的水平位移和竖直位移， $x$ , $y$ ， $t$ 是 $x$ 和 $y$ ，其中 $x = ut$ 和 $y = vt - \frac{1}{2}gt^2$ 其中 $u$ 和 $v$ 是初始水平和竖直速度， $g$ 是重力加速度。证明其轨迹是一条抛物线，并且它达到最大高度 $v^2/2g$ 和射程 $2uv/g$ .