43 绘制下列函数的图像

(a) $$y = \frac{2+x}{1+x}$$

$$\frac{2 + x}{1 + x} \quad (b) \quad y = \frac{1}{2} \left( x + \frac{2}{x} \right)$$

$$(c) \quad y = \frac{3x^4 + 12x^2 - 4}{8x^3}$$

$$\frac{2x^2 - 4}{x^3} \quad (d) \quad y = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 3)}$$

对于定义域 $-3 \leq x \leq 3$ 。求每个图像上与直线相交的点 $y = x$ 。

44 绘制下列函数的图像草图，标出它们的驻点和渐近线。

(a) $$y = \frac{x^2 - 8x + 15}{x}$$

(b) $$y = \frac{x + 1}{x - 1}$$

(c) $$y = \frac{x^2 + 5x - 14}{x + 5}$$

（提示：将 (a) 写成

$$= \frac{x}{x+5} \cdot \frac{x^2 + 5x - 14}{x+5}$$ 将 (a) 写成 $y = (\sqrt{x} - \sqrt{(15/x)^2} + 2\sqrt{15 - x})$ 表明在 $x =$

(c) $y = \frac{x^2 + 5x - 14}{x + 5}$
处有一个驻点 $y = (\sqrt{x} - \sqrt{(15/x)})^2 + 2\sqrt{15} - 8$ （提示：将 (a) 写成 $x = \sqrt{15}$ .)*

表明在处有一个驻点，即存在驻点于 $x = x(t)$ , $y = y(t)$ 在默认定义域上 $0 < t < \pi$ ，而命令

ezplot(x,y,[tmin,tmax])

绘制 $x = x(t)$ , $y = y(t)$ 在定义域上 $t_{\min} < t < t_{\max}$ 。

验证命令

syms x y t

$$x = t^3; y = t^2;$$

ezplot(x,y, [–4,4])

返回图 2.44 所示的图形。

2.5.5 习题

用 MATLAB 检验所得的图形。

45 绘制由参数方程 $x = t(t + 4)$ , $y = t + 1$ 给出的曲线，并证明它是一条抛物线。

46 绘制由参数方程

$$x = t^2 - 1, \quad y = t^3 - t$$

给出的曲线，证明当 $t$ 从 增加时它描述一条闭曲线 $-1$ 到 $1$ 。

47 画出由下式给出的曲线（狄俄克利斯蔓叶线）

$$x = \frac{2t^2}{t^2 + 1}, \quad y = \frac{2t^3}{t^2 + 1}$$

证明该曲线的直角坐标形式为

$$y^2 = \frac{x^3}{(2-x)}$$

2.6 圆函数

圆函数的研究历史悠久。已知最早的圆函数表可追溯至公元前 425 年，由希腊天文数学家喜帕恰斯（Hipparchus）用复杂的几何方法计算得出。他计算了圆心角从 0° 到 60°、以 $\frac{1}{2}^\circ$ 为间隔所对的弦长（见图 2.46(a)）。他的工作由其后一代代希腊