数学家们的努力最终促成公元二世纪托勒密著作的出版。他的著作《Syntaxis》（通常称为‘The Great Collection’即《大成》）先被译成阿拉伯文，称为 Al-majisti，随后又被译成拉丁文，称为 Almagestus。

另一个贡献来自印度数学家阿耶波多（约公元500年），他发展了一种与角度度量相关的弧度度量，以及我们今天称为正弦函数的函数（见图2.46(b)）。他的著作先从印地文译成阿拉伯文，再从阿拉伯文译成拉丁文。我们研究这些函数时所用的各种术语反映了应用数学这段丰富的历史（ $360^\circ$ 从巴比伦人到希腊人：度来自拉丁文 degradus，分来自 pars minuta，正弦来自拉丁文 sinus，这是对印度-阿拉伯语 jiva 的误译）。

圆函数或三角函数的定义有两种方法，这也反映在它们的双重名称上。一种方法是静态的，另一种是动态的。

2.6.1 三角比

静态方法始于测量中的实际问题，并引出了三角形及其度量的数学问题，我们称之为三角学。我们考虑一个直角三角形 ABC，其中 $\angle CAB$ 是直角，并相对于该三角形定义正弦、余弦和正切函数。于是在图2.47中我们有

$$\begin{aligned}\sin \theta^\circ &= \sin \theta^\circ = \frac{c}{a} = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \ \cos \theta^\circ &= \cos \theta^\circ = \frac{b}{a} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \ \tan \theta^\circ &= \tan \theta^\circ = \frac{c}{b} = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\end{aligned}$$

这些函数的定义方式使它们被称为‘三角比’。应用的具体情境意味着角度是以六十进制系统（度、分、秒）度量的：例如， $35^{\circ}21'41''$ 今天写成十进制形式 $35.36^{\circ}$ 。在现代教科书中这一点被明确表示，例如写作 $\sin 30^{\circ}$ ，或 $\cos 35.36^{\circ}$ ，或 $\tan \theta^{\circ}$ ，从而自变量 $\theta$ 是一个纯数。例如，通过考察图 2.48(a) 中所示的三角形，我们可以直接写出 $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$ 的三角比，如图 2.48(b) 的表格所示。

图 2.46

(a) 喜帕恰斯：弦作为角的函数，以半径的份数表示。(b) 阿耶波多：半弦作为角的函数，以该角所对弧的份数表示，其中 $\pi \approx 31\ 416/10\ 000$ .

图 2.47