2.6.3 圆函数

这些函数的动态定义源于考察一个点的运动 $P$ 即该点绕圆周运动，如图 2.54 所示。许多实际机构都涉及这一数学模型。

距离 OP 为一个单位长度，旋转半径上的点 P 到初始位置 OP 的垂直距离 NP₀ 就是该角的正弦 $\angle P_0OP$ 。注意，当 P 位于 OP 上方时 NP 取正值₀ 当 P 位于 OP 下方时取负值₀。类似地，距离 ON 定义了 $\angle P_0OP$ 的余弦，当 N 位于 O 右侧时取正值，位于左侧时取负值。

由于在这些定义中我们关注的是圆和旋转，因此很自然地采用圆弧度量，使得 $\angle P_0OP$ （我们记作 $x$ ）以弧度为单位来度量。在这种情况下，我们直接写作 $\sin x$ 或 $\cos x$ , 其中，如前所述， $x$ 是一个纯数。一弧度是这样一个角度：用图 2.54 的记号，当弧长 $P_0P$ 等于半径 $OP_0$ 时，在圆心处所张的角。因此显然有

180° = $$\pi$$ 弧度

这个结果可用于角度与弧度之间的相互换算。由弧度的定义还可以得出：

(a) 图 2.55(a) 中所示半径为 $r$ 的圆上，在圆心处张角为 $\theta$ 弧度的弧 AB 的长度由下式给出：

弧长 = $$r\theta$$ (2.17)

(b) 半径为 $r$ 的圆上，在圆心处张角为 $\theta$ 弧度的扇形 OAB 的面积（在图 2.55(b) 中以阴影表示）由下式给出：

$$\text{area of sector} = \frac{1}{2}r^2\theta \quad (2.18)$$

$O \rightarrow N \rightarrow P_0$

P

$$\frac{1}{\sqrt{x}}$$ 图 2.54

图 2.55
(a) 圆弧。
(b) 圆扇形。

要得到 $\sin x$ 的图像，我们只需在点 P 沿圆周移动时读取 PN 的值，从而生成图 2.56 的图像。注意，当我们绕圆继续第二圈时（即当 $x$ 从 $2\pi$ 变到 $4\pi$ 时），所产生的图像与 $x$ 从 0 变到 $2\pi$ 时产生的图像相同，对于后续每个区间 $2\pi$ 也是如此。让 P 沿圆周顺时针旋转，我们可以看到 $\sin(-x) = -\sin x$ ，因此 $\sin x$ 可以扩展到负值，如图 2.57 所示。

由于图像在每个区间内自我复制，区间长度为 $x$ ，如图 2.57 所示。

由于图像在每个区间内自我复制，区间长度为 $2\pi$ ,

$$\sin(x + 2\pi k) = \sin x, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \quad (2.19)$$