在工程中我们经常遇到正弦函数

$$y = A \sin(\omega t + \alpha), \quad \omega > 0 \quad (2.23)$$

按照前面的讨论（见第 2.2.4 节），该函数的图像可以通过将图像 $y = A \sin \omega t$ 水平移动得到：

$$\frac{\alpha}{\omega}$$ 个单位向左，如果 $\alpha$ 为正

或

$$\frac{|\alpha|}{\omega}$$ 个单位向右，如果 $\alpha$ 为负

(2.23) 中的这些正弦波被称为“超前”于正弦波 $A \sin \omega t$ 当 $\alpha$ 为正时，而当 $\alpha$ 为负时则“滞后”于它。

例 2.43 画出函数的图像 $y = 3 \sin(2t + \frac{1}{3}\pi)$ 。

解答 首先我们画出以下函数的图像 $y = 3 \sin 2t$ ，其振幅为 3，周期为 $\pi$ ，如图 2.65(a) 所示。在这种情况下 $\alpha = \frac{1}{3} \pi$ 和 $\omega = 2$ ，因此可以得出 $y = 3 \sin(2t + \frac{1}{3} \pi)$ 的图像是通过将 $y = 3 \sin 2t$ 的图像向左平移 $\frac{1}{6} \pi$ 个单位得到的。如图 2.65(b) 所示。

图 2.64

(a) $$y = 3 \sin 2t$$

(b) $$y = 3 \sin \left(2t + \frac{1}{3}\pi\right)$$

图 2.65