例 2.44 考虑图 2.66 所示的曲柄连杆机构。确定 Q 的位移与曲柄 OP 转过的角度之间的函数关系。

解 当曲柄 OP 绕 O 旋转时，连杆的另一端沿滑槽 AB 前后移动。Q 相对其初始位置的位移取决于曲柄 OP 转过的角度。该机构的数学模型用仅有长度的直线代替既有厚度又有长度的曲柄和连杆，并且当线 OP 绕 O 旋转时，我们考虑点 Q 的运动，其中 PQ 长度固定，Q 被约束在直线 AB 上移动，如图 2.67 所示。我们可以利用一些初等三角学来确定 Q 对 OP 旋转角度的依赖关系。将 OP 的长度记为 $r$ 单位，PQ 的长度记为 $l$ 单位，OQ 的长度记为 $y$ 单位，角 $\angle AOP$ 记为 $x$ 弧度，应用余弦公式得

图 2.66 曲柄连杆机构。

图 2.67 曲柄连杆机构模型。

$$l^2 = r^2 + y^2 - 2yr \cos x$$

由此可得

$$\begin{aligned} (y - r \cos x)^2 &= l^2 - r^2 + r^2 \cos^2 x \ &= l^2 - r^2 \sin^2 x \end{aligned}$$

以及

$$y = r \cos x + \sqrt{(l^2 - r^2 \sin^2 x)}$$

因此，对于任意角 x，我们都可以计算出对应的 y 值。我们可以用图像来表示这种关系，如图 Figure 2.68 所示。