和角与差角恒等式

$$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \quad (2.25a)$$

$$\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$$ (2.25b)

$$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \quad (2.25c)$$

$$\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \quad (2.25\text{d})$$

$$\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \quad (2.25e)$$

$$\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} \quad (2.25f)$$

和与积恒等式

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{1}{2}(x + y) \cos \frac{1}{2}(x - y) \quad (2.26a)$$

$$\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{1}{2}(x - y) \cos \frac{1}{2}(x + y) \quad (2.26b)$$

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{1}{2}(x + y) \cos \frac{1}{2}(x - y) \quad (2.26c)$$

$$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{1}{2}(x + y) \sin \frac{1}{2}(x - y) \quad (2.26d)$$

由恒等式 (2.25a)、(2.25c) 和 (2.25e) 我们可以得到倍角公式。

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$ (2.27a)

$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \quad (2.27b)$$

$$= 2 \cos^2 x - 1 \qquad (2.27c)$$

$$= 1 - 2 \sin^2 x$$ (2.27d)

$$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \quad (2.27e)$$

（记 $x = \theta/2$ 我们可以得到类似的恒等式，称为半角公式。）

例 2.45 将 $\cos(\pi/2 + 2x)$ 用 $\sin x$ 和 $\cos x$ .

解 利用恒等式 (2.25c) 我们得到

$$\cos(\pi/2 + 2x) = \cos\pi/2 \cos 2x - \sin\pi/2 \sin 2x$$

由于 $\cos \pi/2 = 0$ 和 $\sin \pi/2 = 1$ , 我们可以化简得到

$$\cos(\pi/2 + 2x) = -\sin 2x$$

$$\cos(\pi/2 + 2x) = -2 \sin x \cos x$$