例 2.46 证明

证明

$$\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B$$

并由此推出

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{1}{2}(x + y) \cos \frac{1}{2}(x - y)$$

因此画出 $y = \sin 4x + \sin 2x$ 的图像。

解 利用恒等式 (2.25a) 和 (2.25b)，我们得到

$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

$$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$$

将这两个恒等式相加得

$$\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B$$

现在令 $A + B = x$ 和 $A - B = y$ ，我们看到 $A = \frac{1}{2}(x + y)$ 和 $B = \frac{1}{2}(x - y)$ 因此

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{1}{2}(x + y) \cos \frac{1}{2}(x - y)$$

这就是恒等式 (2.26a)。（恒等式 (2.26b–d) 可以用同样的方法证明。）将公式应用于

$$y = \sin 4x + \sin 2x$$

我们得到

$$y = 2 \sin 3x \cos x$$

的图像 $y = \sin 3x$ 和 $y = \cos x$ 分别如图 2.69(a) 和 (b) 所示。这两幅图的组合得到图 2.69(c)。在实际情形中，这种振荡的组合会导致“拍”现象。

恒等式 (2.26a–d) 在许多问题中可用于将正弦和余弦的和或差化为正弦和/或余弦的乘积。但在另一些问题中，相反的过程同样有用！因此我们在此总结将乘积表示为和或差的方法。

图 2.69 (a) $y = \sin 3x$ ; (b) $y = \cos x$ ; (c) $y = 2 \sin 3x \cos x$ .