$$\sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x + y) + \sin(x - y)] \quad (2.28a)$$

$$\cos x \sin y = \frac{1}{2}[\sin(x + y) - \sin(x - y)] \quad (2.28b)$$

$$\cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x + y) + \cos(x - y)] \quad (2.28c)$$

$$\sin x \sin y = -\frac{1}{2}[\cos(x + y) - \cos(x - y)] \quad (2.28\text{d})$$

注意 (2.28d) 中括号前的负号。在计算器发明之前，这些恒等式被用来进行乘法运算。通常，数学用表为了节省篇幅，只列出函数到 $45^\circ$ 为止的值，因此需要用到全部四个恒等式。

例 2.47 解方程 $2 \cos^2 x + 3 \sin x = 3$ 求 $0 \leq x \leq 2\pi$ .

解

解 首先我们用 $\sin x$ 来表示方程。这可以通过利用恒等式 (2.24a) 消去 $\cos^2 x$ 来实现，得到

$$2(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x = 3$$

化简为

$$2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0$$

这是关于 $\sin x$ 的一元二次方程，为方便起见可写成 $\lambda = \sin x$ ，得到

$$2\lambda^2 - 3\lambda + 1 = 0$$

因式分解后得到

因式分解后得到 $$(2\lambda - 1)(\lambda - 1) = 0$$

从而得到两个解 $\lambda = \frac{1}{2}$ 和 $\lambda = 1$

现在我们回到这样一个事实： $\lambda = \sin x$ 来确定对应的 $x$ .

• 的值 $\lambda = \frac{1}{2}$ (i) 若 $\sin x = \frac{1}{2}$ 则 $\sin x$ 。记住， $x$ 当角位于第一和第二象限时为正，且 $\sin \frac{1}{6}\pi = \frac{1}{2}$ , 我们有两个解对应于 $\lambda = \frac{1}{2}$ ，即 $x = \frac{1}{6}\pi$ 和 $x = \frac{5}{6}\pi$ .

• (ii) 若 $\lambda = 1$ 则 $\sin x = 1$ ，得到唯一解 $\lambda = \frac{1}{2}\pi$ 。

因此原方程共有三个解，即

$$x = \frac{1}{6}\pi, \quad \frac{1}{2}\pi \quad \text{and} \quad \frac{5}{6}\pi$$

例 2.48 以速度 $V$ 以角度 $\alpha$ 发射的抛射体的路径由下式给出

$$y = x \tan \alpha - \frac{1}{2} \frac{gx^2}{V^2 \cos^2 \alpha}$$