因此 $\beta = 2.3462$ ，正如预期的那样位于第二象限。

$\tan^{-1}(-0.7)$ 是角 $\gamma$ 它位于 $-\pi/2$ 和 $+\pi/2$ 之间，且满足 $\tan \gamma = -0.7$ 。因此 $\gamma = -0.6107$ ，正如预期的那样位于第四象限。

例 2.51 画出函数的图像 $y = \sin^{-1}(\sin x)$ 。

解 在开始画图之前，我们需要考察该函数的代数性质。由于 $\sin^{-1}$ 的定义方式，我们知道对于 $-\pi/2 \leq x \leq \pi/2$ , $\sin^{-1}(\sin x) = x$ .（该函数 $\sin^{-1}x$ 严格 是 $\sin x$ 在限定定义域上的反函数 $-\pi/2 \leq x \leq \pi/2$ 。）我们还知道 $\sin x$ 是奇函数，因此 $\sin(-x) = -\sin x$ 。这意味着 $\sin^{-1}x$ 是奇函数。事实上，从它的图像（图 2.73(b)）可以明显看出这一点。因此， $\sin^{-1}(\sin x)$ 是奇函数。最后，由于 $\sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，我们得出结论 $\sin^{-1}(\sin x)$ 也是一个周期函数，周期为 $2\pi$ 。因此，如果我们能画出 0 到 $\pi$ 之间的图像，就可以利用关于 $-\pi$ 的反对称性得到 $x = 0$ 到 0 之间的图像，并利用周期性得到其余部分的完整图像。利用图 2.73(a) 和 2.73(b)，我们可以得到该函数在 $0 \leq x \leq \pi$ 时的图像，如图 2.76（蓝色）所示。 $-\pi$ 到 0 之间的图像通过关于原点的反对称性得到，如图 2.76 中的虚线所示，而完整图像则利用 $-\pi$ 到 $+\pi$ 之间的部分以及周期性得到。

图 2.76
图像
$y = \sin^{-1}(\sin x)$ .

2.6.8 极坐标

在某些应用中，平面内一点的位置由它到一个定点的距离 $P$ 以及连接该点 $r$ 与 $O$ 的连线 $\theta$ 与某个固定方向所成的角 $P$ 来表示。这一对数 $O$ 唯一地确定该点，称为 $(r, \theta)$ 的极坐标。如果选取极坐标，使其与直角笛卡尔坐标共享同一原点 $P$ ，并且角度以……为基准，则…… $O$ $\theta$ 从 $Ox$ 轴的方向量起，那么，如图 2.77 所示，一点的极坐标 $(r, \theta)$ 与直角坐标 $(x, y)$ 之间的关系为

$$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \tag{2.34}$$

图 2.77