$$r = \sqrt{(x^2 + y^2)}, \quad \tan \theta = \frac{y}{x}.$$

注意原点没有明确定义的 $\theta$ 。每当计算 $\theta$ 时都必须小心，使用上述公式以确保它位于正确的象限。从表格或计算器得到的角 $\tan^{-1}(y/x)$ 通常位于 $\pm\frac{1}{2}\pi$ 之间，并且当 $\theta$ 位于第一或第四象限时，它会给出 $P$ 的正确值。如果 $P$ 位于第二或第三象限，则 $\theta = \tan^{-1}(y/x) + \pi$ 。合理地使用 $\sin \theta$ 和的值 $\cos \theta$ 以检验 $\theta$ 位于正确的象限。

注意，角度 $\theta$ 在逆时针方向测量时为正，在顺时针方向测量时为负。许多计算器具有直角（笛卡尔）坐标与极坐标相互转换的功能。

• 例 2.52 (a) 求笛卡尔坐标为 $(1, 2)$ , $(-1, 3)$ , $(-1, -1)$ , $(1, -2)$ , $(1, 0)$ , $(0, 2)$ , $(0, -2)$ 的点的极坐标。

解 (a) 使用公式 (2.34)，我们可以看到

$$(x = 1, y = 2) \equiv (r = \sqrt{5}, \theta = \tan^{-1}(2/1) = 1.107)$$

使用公式 (2.34) 我们可以看到 $$(x = 1, y = 2) \equiv (r = \sqrt[5]{5}, \theta = \tan^{-1}(2/1))$$

$$(x = -1, y = 3) \equiv (r = \sqrt[5]{10}, \theta = 1.893)$$

$$(x = -1, y = -1) \equiv$$

$$(x = -1, y = -1) \equiv (r = \sqrt{2}, \theta = 5\pi/4)$$

使用公式 (2.34) 我们可以看到 $$(x = 1, y = 2) \equiv (r = \sqrt[5]{5}, \theta, \theta = \tan^{-1}(2/1))$$

$$(x = -1, y = 3) \equiv (r = \sqrt[5]{10}\theta, \theta = 1.893)$$

$$(x = -1, y = -$$

$$(x = 1, y = 0) \equiv (r = 1, \theta = 0)$$

$$(x = 0, y = 2) \equiv (r = 2, \theta = \pi/2)$$

$$(x = 0, y = -2) \equiv (r = 2, \theta = -\pi/2)$$

（此处答案在适当时给出保留三位小数。）

• (b) 使用公式 (2.34) 我们可以看到

$$(x = 0, y = -2) \equiv (r = 2, \theta = -\pi/2)$$

示例答案在适当时给出，使用公式 (2.34) 我们可以看到 $(r = 3, \theta = \pi/4) \equiv (x =$

$$(r = 2, \theta = -\pi/6) \equiv (x = \sqrt{3}, y = -1)$$

$$(r = 2, \theta = -\pi/2) \equiv (x = 0, y = -2)$$

$$\begin{aligned} (r = 3, \theta &= \pi/4) \equiv (x = 3\sqrt{2}, y = 3\sqrt{2}) \ (r = 2, \theta &= -\pi/6) \equiv (x = \sqrt{3}, y = -1) \ (r = 2, \theta &= -\pi/2) \equiv (x = 0, y = -2) \ (r = 5, \theta &$$

要绘制用极坐标指定的曲线，我们首先寻找任何可以减少计算量的特征，例如对称性，然后列出 $r$ 对应于 $\theta$ 各值的数值表。这个过程很繁琐，我们通常使用图形计算器或计算机软件包来完成这项任务。然而，关于极坐标绘图存在不同的约定。有些软件包被设计用于