图 2.78

仅绘制 $r$ 为正的点，因此绘制 $r = 2a \cos \theta$ 对于 $0 \leq \theta \leq \pi$ 会得到图 2.78(a)，而其他软件包会绘制 $r$ 的负值，将 $r$ 视为一条数轴，因此 $r = 2a \cos \theta$ 对于 $0 \leq \theta \leq \pi$ 得到图 2.78(b)。

例 2.53 将圆的方程

$$(x - a)^2 + y^2 = a^2$$

表示为极坐标形式。

解 展开平方项，给定圆的方程变为

$$x^2 + y^2 - 2ax = 0$$

利用关系式 (2.34)，我们得到

$$r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 2ar \cos\theta = 0$$

利用三角恒等式 (2.24a)，

$$r(r - 2a \cos \theta) = 0, \quad -\pi/2 < \theta \leq \pi/2$$

由于 $r = 0$ 给出该点 $(0, 0)$ ，我们可以忽略这一项，圆的方程变为

$$r = 2a \cos \theta, \quad -\pi/2 < \theta \leq \pi/2$$

例 2.54 画出极坐标方程为 $r = 1 + \cos \theta$ .

解

解 当绘制以极坐标形式给出的曲线时，最简单的方法是像图 2.79 那样列出一个数值表。

由于精确测量角度比较困难，在没有极坐标图纸的情况下，更容易的做法是利用 (2.34) 将这些数值转换为直角坐标值。该曲线的草图是一条心脏线，如图 2.80 所示。这里我们利用了曲线关于直线 $\theta = 0$ 的对称性，即直线 $y = 0$ .

(a) $r = 2a \cos \theta$ ,

$$0 \leq \theta \leq \pi, r \geq 0;$$ (b) $r = 2a \cos \theta$ ,

$0 \leq \theta \leq \pi$ ,
$r$ 不受限制。

图 2.79

数值表 $$r = 1 + \cos \theta.$$