2.7 指数、对数与双曲函数

这一函数族中的各函数之间联系紧密。它们的应用范围极为广泛，从传热分析到桥梁设计，从输电线建模到化工生产，随处可见。历史上，指数函数与对数函数产生于截然不同的背景：前者源于复利的计算，后者源于计算数学。但正如数学中经常发生的那样，应用数学中专门领域的发现往往会在其他领域得到广泛应用。在工程学中尤其如此，指数函数及其应用比比皆是。

2.7.1 指数函数

形如 $f(x) = a^x$ 其中 $a$ 为正常数（且 $x$ 照常为自变量）的函数称为指数函数。

如图 2.81 所示，指数函数的图像是相似的。通过对 $x$ 轴进行简单的缩放，我们可以得到 $y = 2^x$ , $y = 3^x$ 和 $y = 4^x$ 的相同图像，如图 2.82 所示。原因在于我们可以写成 $3^x = 2^{kx}$ 其中 $k \approx 1.585$ 和 $4^x = 2^{2x}$ . 因此，所有指数函数都可以用某一个指数函数来表示。通常使用的标准指数函数是 $y = e^x$ ，其中 $e$ 是一个特殊数字，约等于

2.718 281 828 459 045 2...

图 2.81
指数函数的图像。

图 2.82
指数函数的
缩放图像。