这个数 $e$ 之所以被选取，是因为 $y = e^x$ （图 2.83）的图像具有如下性质：曲线上任一点处切线的斜率等于函数在该点的值。我们稍后还会讨论这一性质（见 8.3.12 节）。

我们注意到指数函数满足以下性质：

$$e^{x_1}e^{x_2} = e^{x_1+x_2} \quad (2.35a)$$

$$e^{x+c} = e^x e^c = Ae^x, \quad \text{where } A = e^c \quad (2.35b)$$

$$\frac{e^{x_1}}{e^{x_2}} = e^{x_1-x_2} \quad (2.35c)$$

$$e^{kx} = (e^k)^x = a^x, \quad \text{where } a = e^k \quad (2.35d)$$

通常 $e^x$ 被写作 $\exp x$ 以便在 ' $x$ ' 是复杂表达式时更清晰。例如，

$$e^{(x+1)/(x+2)} = \exp\left(\frac{x+1}{x+2}\right)$$

例 2.55 一个水箱最初装有 1000 升盐水，其中含盐 0.25 千克/升。含盐 0.5 千克/升的新盐水以每秒 3 升的速率流入，均匀混合的盐水以相同速率流出。 $Q(t)$ 秒后水箱中盐的数量（单位：千克） $t$ 由下式给出

$$Q(t) = A + Be^{-3t/1000}$$

求 $A$ 和 $B$ 的值，并画出 $Q(t)$ 的图像。利用图像估计 $Q(t)$ 达到数值 375 所需的时间。

解答 开始时容器中有 $1000 \times 0.25\text{ kg}$ 的盐，所以 $Q(0) = 250$ 。最终容器中的盐水将含有 $0.5\text{ kg}$ 盐/升，所以 $Q$ 的终值将为 500。 $A + Be^{-3/t/1000}$ 的终值为 $A$ , 因此我们推导出 $A = 500$ 。由初始数据可得

$$250 = 500 + Be^0$$

$$Q(t) = 500 - 250e^{-3t/1000}$$

图 2.83
标准指数函数 $y = e^x$ .