双曲函数满足与圆函数类似的恒等式。根据它们的定义，我们有

$$\left. \begin{aligned} \cosh x &= \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) \ \sinh x &= \frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) \end{aligned} \right} \quad (2.39)$$

由此我们推出

$$\cosh x + \sinh x = e^x$$

$$\cosh x - \sinh x = e^{-x}$$

以及

$$(\cosh x + \sinh x)(\cosh x - \sinh x) = e^x e^{-x}$$

即

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \quad (2.40)$$

类似地，我们可以证明

$$\sinh(x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y \quad (2.41a)$$

$$\cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y \quad (2.41b)$$

$$\tanh(x \pm y) = \frac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x \tanh y} \quad (2.41c)$$

要证明这些结果中的前两个，更简单的方法是从右边的表达式入手，将每个双曲函数替换为其指数形式。第三个结果通过前两个结果相除即可立即得到。因此

$$\begin{aligned} \sinh x \cosh y &= \frac{1}{4}(e^x - e^{-x})(e^y + e^{-y}) \ &= \frac{1}{4}(e^{x+y} + e^{x-y} - e^{-x+y} - e^{-x-y}) \end{aligned}$$

$$\cosh x \sinh y = \frac{1}{4}(e^{x+y} + e^{y-x} - e^{-y+x} - e^{-x-y})$$

图 2.87 双曲函数的图像。