将这两个表达式相加，我们得到

$$\begin{aligned}\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y &= \frac{1}{2}(e^{x+y} - e^{-x-y}) \ &= \sinh(x + y)\end{aligned}$$

例 2.58 给定一个函数 $f(x) = A \cosh 2x + B \sinh 2x$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是常数， $f(0) = 5$ 和 $f(1) = 0$ 。求 $A$ 和 $B$ ，并将 $f(x)$ 化简到尽可能简单的形式。

解 已知 $f(x) = A \cosh 2x + B \sinh 2x$ 根据这些条件 $f(0) = 5$ , $f(1) = 0$ ，我们看到

$$A(1) + B(0) = 5$$

和

$$A \cosh 2 + B \sinh 2 = 0$$

因此我们有 $A = 5$ 和 $B = -5 \cosh 2/\sinh 2$ 。代入到以下公式中 $f(x)$ 我们得到

$$\begin{aligned} f(x) &= 5 \cosh 2x - 5 \cosh 2 \sinh 2x / \sinh 2 \ &= \frac{5 \sinh 2 \cosh 2x - 5 \cosh 2 \sinh 2x}{\sinh 2} \ &= \frac{5 \sinh(2 - 2x)}{\sinh 2}, \quad \text{using (2.41a)} \ &= \frac{5 \sinh 2(1 - x)}{\sinh 2} \end{aligned}$$

例 2.59 解方程

$$5 \cosh x + 3 \sinh x = 4$$

解 解这类问题的第一步是将双曲函数用指数函数表示。于是我们得到

$$\frac{5}{2}(\mathbf{e}^x + \mathbf{e}^{-x}) + \frac{3}{2}(\mathbf{e}^x - \mathbf{e}^{-x}) = 4$$

整理后得到

$$4e^x - 4 + e^{-x} = 0$$

或

$$4e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$$

可以写成

$$(2e^x - 1)^2 = 0$$

由此我们推出

$$e^x = \frac{1}{2} \text{ (twice)}$$