$$x = -\ln 2$$

是该方程的重根。

奥斯本法则

一般而言，要从圆函数的恒等式得到双曲函数的相应公式，我们将每个圆函数替换为对应的双曲函数，并改变每两个正弦的乘积或隐含乘积的符号。这一结果称为奥斯本法则。其依据将在后面讨论（见第 3.2.9 节）。

例 2.60

验证恒等式

$$\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x}$$

利用 $\tanh x$ 的定义。确认它符合奥斯本法则。

解 根据定义

$$\tanh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}}$$

和

$$\begin{aligned} 1 + \tanh^2 x &= 1 + \frac{(e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} \ &= \frac{2(e^{2x} + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2} \end{aligned}$$

因此

$$\begin{aligned} \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x} &= \frac{2(e^x - e^{-x})/(e^x + e^{-x})}{2(e^{2x} + e^{-2x})/(e^x + e^{-x})^2} = \frac{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{e^{2x} + e^{-2x}} \ &= \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}} = \tanh 2x \text{ as required} \end{aligned}$$

的公式 $\tan 2\theta$ 由 (2.27e) 得

$$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

我们看到其中包含两个正弦的隐含乘积（ $\tan^2 \theta$ )，因此利用双曲函数，根据奥斯本法则（Osborn's rule），我们得到

$$\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x}$$