2.7.5 反双曲函数

反双曲函数如图 2.88 所示，其定义方式十分自然：

$$y = \sinh^{-1}x \quad (x \text{ in } \mathbb{R})$$

$$y = \cosh^{-1}x \quad (x \geq 1, y \geq 0)$$

$$y = \tanh^{-1}x \quad (-1 < x < 1)$$

(a)

(b)

(c)

图 2.88 反双曲函数的图像。

（这些函数有时也记作 arsinh x、arcosh x 和 artanh x——而不是 arcsinh x 等。）注意反双曲余弦的值域有所限制，以满足恰好得到一个 y 值的条件。毫不意外，这些函数可以用对数来表示。

例如，

$$y = \sinh^{-1}x \quad \text{implies} \quad x = \sinh y = \frac{1}{2}(e^y - e^{-y})$$

因此

$$(e^y)^2 - 2x(e^y) - 1 = 0$$

$$e^y = x \pm \sqrt{(x^2 + 1)}$$

以及

$$\mathbf{e}^y = x \pm \sqrt{(x^2 + 1)}$$

由于 $e^x > 0$ ，我们可以舍去负根，取对数后得到

$$e^y = x \pm \sqrt{(x^2 + 1)}$$ 该 $e^y > 0$ ，我们可以舍去负根，取对数后得到 $$y = \sinh^{-1} x = \ln[x + \sqrt{(x^2 + 1)}] \quad$$

类似地，

$$y = \sinh^{-1}x = \ln[x + \sqrt{x^2 + 1}] \quad (2.42)$$ 似地， $$\cosh^{-1}x = \ln[x + \sqrt{x^2 - 1}] \quad (x \geq 1) \quad (2.43)$$

和

$$\tanh^{-1}x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \quad (-1 < x < 1) \quad (2.44)$$