2.7.6 练习

81 下列每道练习中给出了 $x$ 的六个双曲函数之一的一个值。求其余五个。

(a) $\cosh x = \frac{5}{4}$ (b) $\sinh x = \frac{8}{15}$
(c) $\tanh x = -\frac{7}{25}$ (d) $\operatorname{sech} x = \frac{5}{13}$
(e) $\operatorname{cosech} x = -\frac{3}{4}$ (f) $\coth x = \frac{13}{12}$

82 使用奥斯本法则写出对应于下列式子的公式

(a) $\tan 3x = \frac{(3 - \tan^2 x)\tan x}{1 - 3 \tan^2 x}$
(b) $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
(c) $\cosh 2x = 1 + 2 \sinh^2 x$
(d) $\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{1}{2}(x - y) \cos \frac{1}{2}(x + y)$

83 证明

(a) $\cosh^{-1} x = \ln[x + \sqrt{x^2 - 1}]$ ( $x \geq 1$ )
(b) $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ ( $|x| < 1$ )

84 求至 4 位小数

(a) $\sinh^{-1} 0.8$
(b) $\cosh^{-1} 2$
(c) $\tanh^{-1}(-0.5)$

85 浅水中波浪的速度 $V$ 由下式给出

$$V^2 = 1.8L \tanh \frac{6.3d}{L}$$

其中 $d$ 为水深， $L$ 为波长。若 $d = 30$ 和 $L = 270$ ，计算 $V$ 的值。

86 公式

$$\lambda = \frac{\alpha t}{2} \frac{\sinh \alpha t + \sin \alpha t}{\cosh \alpha t - \cos \alpha t}$$

给出了条形导体在工频下由于涡流而增加的电阻。计算 $\lambda$ ，当 $\alpha = 1.075$ 和 $t = 1$ 时。

87 函数

$$f_1(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}, \quad f_2(x) = \frac{1}{2} \tanh \frac{1}{2}x$$

是表示典型神经网络中神经元输出的两种不同形式的激活函数。画出 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的图像，并证明 $f_1(x) - f_2(x) = \frac{1}{2}$ 。

88 电报线与大地之间的电位差 $E$ （单位为 V）由下式给出

$$E = A \cosh\left(x \sqrt{\frac{r}{R}}\right) + B \sinh\left(x \sqrt{\frac{r}{R}}\right)$$

其中 $A$ 和 $B$ 为常数， $x$ 为距发送端的距离（单位为 km）， $r$ 为导线每千米的电阻， $R$ 为每千米的绝缘电阻。求当线路长度为 400 km 时 $A$ 和 $B$ 的值， $r = 8 \Omega$ , $R = 3.2 \times 10^7 \Omega$ 且发送端和接收端的电压分别为 250 V 和 200 V。

2.8 无理函数

圆函数和指数函数是超越函数的例子。它们不能表示为有理函数，即不能表示为两个多项式的商。工程中还会出现其他无理函数，它们可分为代数函数或超越函数。例如，

$$y = \frac{\sqrt{(x+1)} - 1}{\sqrt{(x+1)} + 1} \quad (x \geq -1)$$