是一个代数无理函数。这里 $y$ 是代数方程

$$xy^2 - 2(2 + x)y + x = 0$$

的一个根，该方程的系数是 $x$ 的多项式。

另一方面， $y = |x|$ 虽然满足 $y^2 = x^2$ ，但并不是该方程的根（该方程的根是 $y = x$ 和 $y = -x$ ）。模函数 $|x|$ 是一个非代数无理函数的例子。

2.8.1 代数函数

一般地，我们有代数函数 $y = f(x)$ 当 $y$ 是形如

$$a_n(x)y^n + a_{n-1}(x)y^{n-1} + \dots + a_1(x)y + a_0(x) = 0$$

的多项式方程的根时定义。注意这里所有的系数 $a_0 \dots a_n$ 可以是自变量 $x$ 的多项式函数。例如，考虑

$$y^2 - 2xy - 8x = 0$$

这定义了对于 $x \geq 0$ 的两个代数函数，其公式为

$$y = x + \sqrt{(x^2 + 8x)} \quad \text{and} \quad y = x - \sqrt{(x^2 + 8x)}$$

注意这里所有的系数 $a_0, \dots, a_n$ 可以是自变量 $x$ 的多项式函数。例如，考虑

$$y^2 - 2xy - 8x = 0$$ 这定义了，对于 $x \geq 0$ ，两个具有如下公式的代数函数

$$y = x + \sqrt{(x^2 + 8x)} \quad \text{and} \quad y = x - \sqrt{(x^2 + 8x)}$$ 其中一个对应于 $y^2 - 2xy - 8x = 0$ 其中 $y \geq 0$ ，另一个对应于 $y^2 - 2xy - 8x = 0$ 其中 $y \leq 0$ 。因此，当我们通过方程隐式地指定一个函数时，通常需要一些额外的信息来唯一地定义它。此外，在更大的计算中使用代数函数时也必须小心，以防参数的特殊取值导致函数值发生突变，如例 2.62 所示。

例 2.62 画出函数在定义域

$$y = \sqrt{(a + bx^2 + cx^3)/(d - x)}$$

上的图像，其中 $-3 < x < 3$ 和

• (a) $a = 18, b = 1, c = -1$ 且 $d = 6$
• (a) $a = 18, b = 1, c = -1$ 和 $d = 0$
  (b) $a = 0, b = 1, c = -1$ 和 $d = 0$

(a) $y = \sqrt{(18 + x^2 - x^3)/(6 - x)}$

(a) $y = \sqrt{(18 + x^2 - x^3)/(6 - x)}$
我们可以看到，只有当 $18 + x^2 - x^3 > 0$ 时，根号内的项才为正。由于我们可以将其因式分解为 $(18 + x^2 - x^3) = (3 - x)(x^2 + 2x + 6)$ ，我们推断出 $y$ 在 $x > 3$ 时没有定义。此外，当 $x$ 取较大的负值时，它的表现类似于 $\sqrt{(-x)}$ 。函数图像的草图如图 2.89 所示。

(b) $y = -\sqrt{(x^2 - x^3)/x}$
在这里我们可以看到(b) $y = -\sqrt{(x^2 - x^3)/x}$

该图像的一个草图如图 2.89 所示。

(b) $y = -\sqrt{x^2 - x^3}/x$

这里我们可以看到该函数在以下范围内有定义： $x \leq 1$ , $x \neq 0$ 。在 $x = 0$ 附近，由于我们可以写成 $x = \sqrt{x^2}$ （当 $x > 0$ 时）以及 $x = -\sqrt{x^2}$ （当 $x < 0$ 时），我们可以看到

$$y = -\sqrt{(1-x)} \quad \text{for } x $$y = -\sqrt{(1-x)} \quad \text{for } x > 0$$$$