例 2.63 速度 $v$ 以及位移 $x$ 连接到非线性弹簧上的质量满足方程

$$v^2 = -4x^2 + x^4 + A$$

其中 $A$ 取决于该质量的初始速度 $v_0$ 和位移 $x_0$ 。画出 $v$ 关于 $x$ 的图像，其中

• (a) $x_0 = 1, v_0 = 0$
• (b) $x_0 = 3, v_0 = 0$

并解释你的图像。

解 (a) 对于 $x_0 = 1$ , $v_0 = 0$ 我们有 $A = 3$ 和

$$v^2 = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 3)(x^2 - 1)$$

要手工绘制图像，最简单的方法是先绘制 $v^2$ 关于 $x$ 的图像，如图 2.91(a) 所示。对图像取“平方根”仅当 $v^2 \geq 0$ 时才可行，但我们也知道需要图像中包含初始点 $(x_0, v_0)$ 的那一部分。因此我们得到图 2.91(b) 所示的闭合环线。闭合曲线上的箭头表示随着时间增加， $v$ 随 $x$ 的变化情况。在速度 $v$ 为正的地方，位移 $x$ 增加。当速度为负时，位移减小。闭合曲线表明该运动在完成曲线的一个循环后重复；也就是说，这是一种周期性运动。

(a) 绘制 $v^2$ 对 $x$ .

² 对 $x$ 的图像。(b) 绘制 $v$ 对 $x$ 的图像。

图 2.91 例 2.63(a) 的图像。

• (b) 当 $x_0 = 3$ , $v_0 = 0$ 时，我们有 $A = -45$ 和

$$v^2 = x^4 - 4x^2 - 45 = (x^2 - 9)(x^2 + 5)$$

使用与 (a) 部分相同的技术，我们可以看到当质量块从静止释放于 $x = 3$ 时，其位移无限增大，运动不是周期性的。相应的图形如图 2.92(a) 和 (b) 所示。