例 2.64 化学过程中两种物质的浓度由如下方程联系 $xye^{2-y} = 2e^{x-1}$ , $0 < x < 3$ , $0 < y < 3$ . 请用图形方法研究这一关系，并判断它是否定义一个函数。

解 将方程中的变量分离，我们得到

$$ye^{-y} = 2e^{-3}e^x/x$$

代入 $u = e^x/x$ 和 $v = ye^{-y}$ 后，该方程化简为

$$v = 2e^{-3}u$$

因此在 $u-v$ 平面上该关系由一条直线表示。将四个平面 $x-y$ , $v-y$ , $u-x$ , $u-v$ 的第一象限拼合在一起，我们得到图 2.93 所示的图形。从该图可以清楚地看出，出现的最小值为 $u$ 图 2.92 例 2.63(b) 的图形。

图 2.93 四个平面的第一象限。