图 2.94 例 2.64 的闭式解。

在 P 处，且出现的最大值 $v$ 位于 Q 处，因此该方程的所有解都位于 P 和 Q 之间。位于直线 P 和 Q 之间的任意一点 R 对应于两个 $y$ 值和两个 $x$ 值。所以每个点 R 对应于 $x-y$ 平面上的四个点。通过考虑 P 和 Q 之间的所有点，我们得到图 2.94 中所示的闭曲线。从该图中我们可以看出，该方程并未定义一个函数，因为 $x$ 的一个值可以产生 $y$ 的两个值。当然，可以指定 $y$ 的范围，从而在这种情况下得到两个函数，一个用于 $y \geq 1$ ，另一个用于 $y \leq 1$ 。

这种研究问题的图解方法最早由 Volterra 在研究鱼类种群中捕食者-猎物关系时使用。它有时被称为 Volterra 方法。在该背景下，闭曲线解表明了鱼类种群的周期性。

在 MATLAB 中，使用符号数学工具箱，绘制隐式定义函数图像的命令 $f = f(x, y) = 0$ 有

explot (f) 在默认定义域上绘制 f(x, y) = 0 的图像 $-2\pi < x < 2\pi$ , $-2\pi < y < 2\pi$

ezplot(f, [x_min, x_max, y_min, y_max]) 绘制 $f(x, y) = 0$ 在……上

$$x_{\min} < x < x_{\max}, y_{\min} < y < y_{\max}$$ ezplot(f, [min, max]) 绘制 $f(x, y) = 0$ 在……上 $\min < x < \max$ 以及

$\min < y < \max$

如果 $f$ 是两个变量 $u$ 和 $v$ （而不是 $x$ 和 $y$ ）则定义域端点 $u_{\min}$ , $u_{\max}$ , $v_{\min}$ 和 $v_{\max}$ 按字母顺序排序。

请验证命令

syms x yezplot(x*y*exp(2 - y) - 2*exp(x - 1), [0, 3])返回图 2.94 的图形，并验证命令

syms x yezplot(y^2 - 2*y*cos(x) - 24, [0,3*pi])