2.8.3 分段定义函数

这类函数经常出现在实际问题的数学模型中。例如，摩擦力总是阻碍物体的运动，因此当速度 $F$ 为正时，力为 $-R$ ，而当速度为负时，力为 $v$ 。为了表示这个力，我们可以写成 $+R$ 其中

$$F = -R \operatorname{sgn}(v)$$

是符号函数的缩写，其定义如下 $\operatorname{sgn}$ 图 2.95

图 2.96
$y = \operatorname{sgn} x$ .

如图 2.95 所示。符号函数用于继电器的建模。

赫维赛德单位阶跃函数常用于物理系统的建模。其定义如下：
$y = H(x)$ .

$$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} +1 & (x > 0) \ -1 & (x < 0) \ 0 & (x = 0) \end{cases}$$

$$H(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \ 1 & (x \geq 0) \end{cases} \quad (2.45)$$

其图像如图 2.96 所示。

另外三个此类有用的函数是下取整函数 $\lfloor x \rfloor$ 上取整函数 $\lceil x \rceil$ 以及小数部分函数 $\operatorname{FRACPT}(x)$ 。（在较旧的教科书中， $\lfloor x \rfloor$ 记作 $\lfloor x \rfloor$ ，有时称为整数部分函数。）它们的定义如下

$$\lfloor x \rfloor = \text{greatest integer not greater than } x \quad (2.46)$$

$$\lceil x \rceil = \text{least integer not less than } x \quad (2.47)$$

以及

$$\operatorname{FRACPT}(x) = x - \lfloor x \rfloor \quad (2.48)$$

“下取整”和“上取整”的名称与记号是计算机科学家 Kenneth E. Iverson 于 1962 年引入的。

这些定义需要仔细解读。例如，注意

$$\lfloor 3.43 \rfloor = 3$$

而

$$\lfloor -3.43 \rfloor = -4$$

类似地，

$$\operatorname{FRACPT}(3.43) = 0.43 \quad \text{and} \quad \operatorname{FRACPT}(-3.43) = 0.57$$