2.10 工程应用：一个设计问题

数学在工程设计中起着重要作用。我们将说明本章中描述的一些基本思想如何用于产生最优设计。考虑图 2.106 所示的开口容器。底面和长边由厚度为 $t$ 厘米的材料制成，短边由厚度为 $3t$ 厘米的材料制成。容器的内部尺寸为 $l$ 厘米 $\times$ $b$ 厘米 $\times$ $h$ 厘米。设计问题是制造一个给定容量且使用材料最少的容器。（此类物品的大批量生产意味着单件上的少量节省会在批量产品中产生大量节省。）首先我们得出制造容器所用材料的体积 $A$ 的表达式。

图 2.106

盒子的容量 $C$ 为 $C(l, b, h) = lbh$ 。则

$$\begin{aligned} A(l, b, h, t) &= C(l + 6t, b + 2t, h + t) - C(l, b, h) \ &= (l + 6t)(b + 2t)(h + t) - lbh \ &= (lb + 6bh + 2hl)t + (2l + 6b + 12h)t^2 + 12t^3 \end{aligned} \tag{2.52}$$

对于特定的设计，材料的厚度 $t$ 和容器的容量 $K$ 都会被给定，因此，由于 $lbh = K$ ，我们可以用其中两个变量来定义 $l$ , $b$ 和 $h$ 。例如， $l = K/bh$ 。

出于种种原因，例如便于搬运、便于商品陈列等，制造商可能会对设计施加其他约束条件。我们将先考虑一个特例来说明这一点，然后再讨论更一般的情形。

特例

让我们来求一个容器的最优设计，该容器的宽度 $b$ 是其高度 $h$ 的四倍，且其容量为 $10000\text{ cm}^3$ , 使用厚度为 $0.4\text{ cm}$ 和 $1.2\text{ cm}$ 的材料（使得 $t = 0.4$ ）。我们希望最小化的函数 $f(h)$ 由下式给出 $A(l, b, h, t)$ ，其中 $t = 0.4$ , $b = 4h$ 和 $lbh = 10000$ （使得 $l = 2500/h^2$ ）。将这些值代入 (2.52)，经过一些整理后得到，

$$f(h) = 9.6h^2 + 5.76h + 0.768 + 6000/h + 800/h^2$$

该函数的图像如图 2.107 所示。该图像在 附近 有一个最小值点 $h = 7$ . 我们可以通过用二次函数局部近似来得到对最优选择的更好的估计，针对 $h$ 通过近似 $f(h)$ 局部为二次函数。在 $f$ 处以及 $h = 6, 7$ 处求值，得到 $8$ 图 2.107