$$f(6) = 1403.2$$ , $f(7) = 1385.0$ , $f(8) = 1423.7$

这清楚地表明最小值出现在 $h = 6$ 和 $h = 8$ 之间。

我们使用如下形式的局部二次近似将函数近似为 $f(h)$ 令

$$f(h) \simeq A(h - 7)^2 + B(h - 7) + C$$

得到 $h = 7$ 令 $C = 1385.0$

得到 $h = 6$ 令 $A - B + C = 1403.2$

得到 $h = 8$ 令 $A + B + C = 1423.7$

因此 $C = 1385.0$ , $A = 28.45$ 且 $B = 10.25$ 。近似二次函数的最小值出现在 $h - 7 = -B/(2A)$ 处；也就是说，在 $h = 7 - 0.18 = 6.82$ 处。因此 $h$ 的最优选择约为 6.82，此时 $f(h)$ 在该点的值为 1383.5。

对应的 $b$ 和 $l$ 的值分别为 $b = 27.3$ 和 $l = 53.7$ 。因此，在这种特殊情况下，我们得到了容器的最优设计。

一般情况

这里我们在不限制以下比例的情况下寻求最优设计： $b$ 与 $h$ 。对于容量为 $K$ 的容器，我们需要最小化 $A(l, b, h, t)$ 并满足约束条件 $C(l, b, h) = K$ 。这里

$$A(l, b, h, t) = (lb + 6bh + 2hl)t + (2l + 6b + 12h)t^2 + 12t^3$$

和

$$C(l, b, h) = lbh$$

这些函数具有某些代数对称性，使我们能够用代数方法求解该问题。考虑以下公式： $A$ 并设 $x = 2h$ 和 $y = l/3$ ，则

$$\begin{aligned} A(l, b, h, t) &= 3(by + bx + xy)t + 6(y + b + x)t^2 + 12t^3 \ &= A^*(y, b, x, t) \end{aligned}$$

和

$$C(l, b, h) = 3bxy/2$$

由此我们可以得出结论：如果 $A^*(y, b, x, t)$ 在 $(y_0, b_0, x_0)$ 处取得最小值，对于给定的 $t$ 值，那么它在 $(x_0, b_0, y_0)$ , $(x_0, y_0, b_0)$ , $(y_0, x_0, b_0)$ , $(b_0, y_0, x_0)$ 处也取得相同的值 $(b_0, x_0, y_0)$ 和 $b_0 = y_0 = x_0$ 。假设该函数有唯一的最小值点，我们得出结论：这六个点是同一个点，即。因此我们推出最小值出现在 $l = 6h$ 和 $b = 2h$ 。由于容量是固定的，我们有 $lbh = K$ ，这意味着 $12h^3 = K$ 。

因此，在一般情况下 $h$ 的最优选择是 $(\frac{1}{12} K)^{1/3}$ 。

回到 $K = 10000$ 和 $t = 0.4$ 的特殊情形，当

$$h = 9.41, \quad b = 18.82, \quad l = 56.46$$

时，我们得到一个最优设计，使用 1330.1 平方厘米³ 的材料。注意，所用材料的数量接近于在 $b = 4h$ . 这表明该设计对其构建过程中产生的小误差并不敏感。参见例 9.44。