图 2.108 可行解集。

2.11 工程应用：一个优化问题

一家公司拥有两座矿山：X 矿每天生产 1 吨高品位矿石、3 吨中品位矿石和 5 吨低品位矿石，而 Y 矿每天生产各品位矿石各 2 吨。公司需要 80 吨高品位矿石、160 吨中品位矿石和 200 吨低品位矿石。每座矿山每天运营成本为 2000 英镑。每座矿山应运营多少天才能使成本最小？

我们可以用表格总结这些信息：

设 X 矿运营 x 天、Y 矿运营 y 天以满足需求，可得不等式

$$x + 2y \geq 80$$

$$3x + 2y \geq 160$$

$$5x + 2y \geq 200$$

以及相应的成本 $C = 2000x + 2000y$ . 另外我们知道 $x \geq 0$ 和 $y \geq 0$ 。

f 的可行解集在图 2.108 中以着色显示。图中还标出了可行成本。它们用平行于 $x + y = C/2000$ 的直线表示。最小成本由最靠近原点的成本线给出，即通过点 A(40, 20) 的那条直线。

因此，公司应让 X 矿运营 40 天、Y 矿运营 20 天，以使成本最小化。这是使用线性规划进行优化的一个例子。线性规划在本套书的姊妹篇《高级现代工程数学》第 10 章中有详细讨论。