2.12 复习题（1–23）

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

1 函数 f 和 g 定义如下

$$f(x) = x^2 - 4$$ ( $x$ 在 $[-20, 20]$ )

$$g(x) = x^{1/2}$$ （在 [0, 200] 内）

设 h(x) 和 k(x) 分别为复合函数 f ° g(x) 和 g ° f(x)。求 h(x) 和 k(x)。复合函数 k(x) 是否对 f(x) 定义域中的所有 x 都有定义？如果不是，那么 k(x) 在 f(x) 定义域的哪一部分有定义？

2 椭圆的周长取决于其长轴和短轴的长度，由下式给出

周长 = 2 ⋅ (长轴) ⋅ E(m)

其中

$$m = \frac{(\text{major axis})^2 - (\text{minor axis})^2}{(\text{major axis})^2}$$

且 E 是图 2.109 中给出其图像的函数。

• (a) 计算长轴和短轴长度分别为 10 cm 和 6 cm 的椭圆的周长。
• (b) 要用金属薄板弯成长轴 55 cm、短轴 13 cm 的椭圆形，制成一个长度为 2 m 的整流罩。估算所需金属薄板的面积。

3 产品的销售量与其价格的关系如下：

生产成本为每单位 £1。列出一个表格，显示每个售价下的销售收入、成本和利润，并推导出应采用的售价。

4 函数 f 定义如下

$$f = \begin{cases} x + 1 & (x < -1) \ 0 & (-1 \leq x \leq 1) \ x - 1 & (x > 1) \end{cases}$$

画出以下图像 $f(x)$ , $f(x - 2)$ 和 $f(2x)$ 。函数 $g(x)$ 定义为 $f(x + 2) - f(2x - 1)$ 。画出 $g(x)$ 的图像。

5 函数 $f(x)$ 的表达式为 $y = x^2$ 对于 $0 \leq x < 1$ 。请绘制 $f(x)$ 在 $-4 < x < 4$ 时的图像

• (a) f(x) 是周期为 1 的周期函数；
• (b) f(x) 是偶函数且周期为 2；
• (c) f(x) 是奇函数且周期为 2。

6 假设给出的所有数都是正确舍入的，计算二次方程的正根及其误差界

$$1.4x^2 + 5.7x - 2.3 = 0$$

也请以正确舍入的数给出答案。

7 画出函数

(a) $$x^2 - 4x + 7$$      (b) $x^3 - 2x^2 + 4x - 3$

$$(c) \frac{x + 4}{x^2 - 1} \qquad (d) \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 2x - 3}$$

8 求……的泰勒展开式

$$x^4 + 3x^3 - x^2 + 2x - 1 \text{ about } x = 1$$

图 2.109