$$\begin{aligned} z_1 z_2 &= (x_1 + jy_1)(x_2 + jy_2) \ &= x_1 x_2 + jy_1 x_2 + jx_1 y_2 + j^2 y_1 y_2 \end{aligned}$$

利用这一事实， $j^2 = -1$ 则得到

$$z_1 z_2 = x_1 x_2 - y_1 y_2 + j(x_1 y_2 + x_2 y_1)$$

例 3.4

如果 $z_1 = 3 + j2$ 和 $z_2 = 5 + j3$ 求 $z_1 z_2$ .

解

$$\begin{aligned} z_1 z_2 &= (3 + j2)(5 + j3) = 15 + j10 + j9 + j^2 6 \ &= 15 - 6 + j(10 + 9), \text{ using the fact that } j^2 = -1 \ &= 9 + j19 \end{aligned}$$

(iv) 除法

两个复数的除法不那么直接。如果 $z_1 = x_1 + jy_1$ 和 $z_2 = x_2 + jy_2$ ，那么我们使用以下技巧来求得商。我们将“分子和分母”同乘以 $x_2 - jy_2$ ，得到

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + jy_1}{x_2 + jy_2} = \frac{(x_1 + jy_1)(x_2 - jy_2)}{(x_2 + jy_2)(x_2 - jy_2)}$$

将‘分子和分母’展开相乘，我们得到

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + j(x_2 y_1 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$$

得到

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2} + j \frac{(x_2 y_1 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$$

数 $x - jy$ 称为 $z = x + jy$ 的复共轭 $z^$ 并记作 $\bar{z}$ 。（有时复共轭也用上划线表示为 $z^$ 。）注意，复共轭 $z$ .

是通过改变 $z_1 = 3 + j2$ 的虚部符号得到的。例 3.5

若 $z_2 = 5 + j3$ 确定 $\frac{z_1}{z_2}$ .

解

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + j2}{5 + j3}$$

将分子和分母同乘以 $5 - j3$ 分母的共轭，得

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(3 + j2)(5 - j3)}{(5 + j3)(5 - j3)}$$