展开“分子和分母”，我们得到

$$\frac{3 + j2}{5 + j3} = \frac{(15 + 6) + j(10 - 9)}{(25 + 9) + j(15 - 15)} = \frac{21 + j}{34} = \frac{21}{34} + j\frac{1}{34}$$

例 3.6

求复数的实部和虚部 $z + 1/z$ 对于 $z = (2 + j)/(1 - j)$ .

解

$$z = \frac{2 + j}{1 - j} = \frac{(2 + j)(1 + j)}{(1 - j)(1 + j)} = \frac{1 + j3}{2} = \frac{1}{2} + j\frac{3}{2}$$

则

$$z^{-1} = \frac{2}{1 + j3} = \frac{2(1 - j3)}{(1 + j3)(1 - j3)} = \frac{2 - j6}{10} = \frac{1}{5} - j\frac{3}{5}$$

因此

$$z + \frac{1}{z} = (\frac{1}{2} + j\frac{3}{2}) + (\frac{1}{5} - j\frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) + j(\frac{3}{2} - \frac{3}{5}) = \frac{7}{10} + j\frac{9}{10}$$

得到

$$\operatorname{Re}\left(z + \frac{1}{z}\right) = \frac{7}{10} \quad \text{and} \quad \operatorname{Im}\left(z + \frac{1}{z}\right) = \frac{9}{10}$$

3.2.3 复共轭

正如我们在上面看到的，复共轭 $z = x + jy$ 是 $z^* = x - jy$ 。在阿甘德图中 $z^*$ 是……的镜像 $z$ 在实数轴或 $x$ 轴上。以下重要结论可以很容易地推导出来。

$$\begin{aligned} z + z^* &= 2x = 2 \operatorname{Re}(z) \ z - z^* &= 2jy = 2j \operatorname{Im}(z) \ zz^* &= (x + jy)(x - jy) = x^2 + y^2 \ (z_1z_2)^* &= z_1^z_2^ \end{aligned} \tag{3.1}$$

其中最后一个结果表明，一个复数与其共轭复数的乘积是一个实数。

具有实系数的不可约二次函数的零点互为共轭复数。

例 3.7

将以下函数的零点表示为复数 $f(x) = x^2 - 6x + 13$ 。

$$x^2 - 6x + 13 = 0$$