190 复数

利用求根公式（1.8）我们得到

$$\begin{aligned} x &= \frac{6 \pm \sqrt{(36 - 52)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-16)}}{2} \ &= \frac{6 \pm 4\sqrt{(-1)}}{2} = 3 \pm j2 \end{aligned}$$ 所以这两个零点构成一对共轭复数。

例 3.8 求四次方程的所有根

$$x^4 + 4x^2 + 16 = 0$$ 解 将方程改写后，我们可以得到一个平方差，从而可以进行第一次因式分解

$$\begin{aligned} x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2 &= (x^2 + 4)^2 - 4x^2 \ &= [(x^2 + 4) - 2x][(x^2 + 4) + 2x] \end{aligned}$$ 现在 $x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3$ 且 $x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3$ ，因此我们得到方程

$$x - 1 = \pm j\sqrt{3} \quad \text{and} \quad x + 1 = \pm j\sqrt{3}$$ 于是该四次方程的四个根为

$$x = 1 + j\sqrt{3}, 1 - j\sqrt{3}, -1 + j\sqrt{3}, -1 - j\sqrt{3}$$ 这些根构成两对共轭复数。

例 3.9 对于复数 $z_1 = 5 + j3$ 和 $z_2 = 3 - j2$ 验证恒等式

$$(z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*$$ 解答

$$\begin{aligned} z_1 z_2 &= (5 + j3)(3 - j2) = 15 + 6 + j(9 - 10) = 21 - j \ (z_1 z_2)^* &= 21 + j \ z_1^* z_2^* &= (5 - j3)(3 + j2) = 15 + 6 + j(10 - 9) = 21 + j \end{aligned}$$ 因此 $(z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*$ .

3.2.4 模与辐角

如图 3.3 的阿甘德图所示，如果我们知道线段 OP 的长度以及它与正 $x$ 方向所成的角，点 P 就被唯一确定。OP 的长度是 $z$ 大小的一种度量，称为 $z$ 的模，通常记作 $\text{mod } z$ 或 $|z|$ 。正实轴与 OP 之间的角称为 $z$ 的辐角，记作 $\arg z$ 。由于极坐标 $(r, \theta)$ 和 $(r, \theta + 2\pi)$ 表示同一个点，因此采用一种约定来确定辐角