的 $z$ 唯一地，通过限制其范围使得 $-\pi < \arg z \leq \pi$ 。（在某些教科书中，这被称为辐角的“主值”。）复数 $0 + j0$ 的辐角没有定义。

因此由图 3.3 可知， $|z|$ 和 $\arg z$ 由下式给出

$$\left. \begin{aligned} |z| &= r = \sqrt{x^2 + y^2} \ \arg z &= \theta \quad \text{where } \tan \theta = y/x, x \neq 0 \end{aligned} \right} \quad (3.2)$$

注意，由方程 (3.1) 可得

$$zz^* = x^2 + y^2 = |z|^2$$

在计算 $|z|$ 和 $\arg z$ 时，使用 (3.2) 有两个常见错误需要避免。首先，注意模 $z$ 是平方和的平方根，即 $x$ 和 $y$ 的平方和的平方根，而不是 $x$ 和 $jy$ 的平方和的平方根。该数的 $j$ 部分已在阿甘图（Argand diagram）的表示中考虑在内。第二个常见错误是把 $\theta$ 放在错误的象限。为避免这一点，在计算 $\arg z$ 时，建议画出标明该数位置的阿甘图草图。

例 3.10 求

• 的模和辐角，图中标明了该数的位置。

解 注意，标明各复数位置的阿甘图草图见图 3.4(a–d)。

(a) $|3 + j2| = \sqrt{(3^2 + 2^2)} = \sqrt{(9 + 4)} = \sqrt{13} = 3.606$

(c) $\tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) = 0.588$

$$(a) |3 + j2| = \sqrt{(3^2 + 2^2)} = \sqrt{(9 + 4)} = \sqrt{3}$$

$$\arg(3 + j2) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) = 0.588$$

$$(b) |1 - j| = \sqrt{[1^2 + (-1)^2]} = \sqrt{2} = 1.414$$

$$\arg(1 - j)$$

$$\arg(1 - j) = -\tan^{-1}\left(\frac{1}{\frac{1}{1}}\right) = -\frac{1}{4}\pi$$

图 3.3
模（ $r$ ) 和
辐角（ $\theta$ ）的
复数
$z = x + jy$ .

(a)

(b)

(c)

(d)

图 3.4