3.2.9 圆函数与双曲函数之间的关系

欧拉公式提供了圆函数与双曲函数之间的理论联系。由于

$$e^{i\theta} = \cos \theta + j \sin \theta$$ 以及 $e^{-i\theta} = \cos \theta - j \sin \theta$

我们可以推出

$$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad (3.11a)$$

以及

$$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2j} \quad (3.11b)$$

前面（见 2.7 节）我们通过下式定义了双曲函数：

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \quad (3.12a)$$

以及

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \quad (3.12b)$$

• 22 将下列复数表示为指数形式：
• 将下列复数表示为指数形式：

(a) $$3 + j4$$                      (b) $-1 + j\sqrt{3}$

23 将下列复数表示为直角坐标形式：

(a) $$e^{3+j\pi/4}$$                      (b) $e^{-1+j\pi/3}$

24 将下列复数表示为极坐标形式

(a) j (b) 1

(c) $$-1$$ (d) $1 - j$

(e) Ë3 − jË3 (f) −2 +^j

(g) $$-3 - j2$$                      (h) $7 - j5$

(i) $$(2 - j)(2 + j) = (j) (-2 + j7)^2$$

25 将其表示为 $z = (2 - j)(3 + j2)/(3 - j4)$ 的形式，并同时用极坐标形式表示。

26 已知 $x + jy$ 和 $z_1 = e^{j\pi/4}$ ，求

(a) $z_2 = e^{-j\pi/3}$ 的辐角 $$z_1z_2^2$$ 和 $z_1^3/z_2$

(b) $$z_1^2 + jz_2$$

的实部和虚部 $z_1 = 2e^{j\pi/3}$ 27 已知 $z_2 = 4e^{-2j\pi/3}$ 和 $$z_1^3z_2^2$$      (b) $z_1^2z_2^4$      (c) $z_1^2/z_2^3$