将 (3.12a, b) 与 (3.11a, b) 比较，我们得到

$$\cosh jx = \frac{e^{jx} + e^{-jx}}{2} = \cos x \quad (3.13a)$$

$$\sinh jx = \frac{e^{jx} - e^{-jx}}{2} = j \sin x \quad (3.13b)$$

因此

$$\tanh jx = j \tan x \quad (3.13c)$$

另外，

$$\cos jx = \frac{e^{j^2x} + e^{-j^2x}}{2} = \frac{e^{-x} + e^x}{2} = \cosh x \quad (3.14a)$$

$$\sin jx = \frac{e^{j^2x} - e^{-j^2x}}{2j} = \frac{e^{-x} - e^x}{2j} = j \sinh x \quad (3.14b)$$

因此

$$\tan jx = j \tanh x \quad (3.14c)$$

这些关系为前面使用的 Osborn 法则（见第 2.7.4 节）提供了依据，该法则用于从三角函数所满足的恒等式得到双曲函数恒等式，因为每当出现两个正弦的乘积时， $j^2$ 也会出现。

利用这些结果，我们可以计算诸如 $\sin z$ , $\cos z$ , $\tan z$ , $\sinh z$ , $\cosh z$ 和 $\tanh z$ 之类的函数。例如，要计算

$$\cos z = \cos(x + jy)$$

我们使用恒等式

$$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$

并得到

$$\cos z = \cos x \cos jy - \sin x \sin jy$$

利用结果 (3.14a, b)，可得

$$\cos z = \cos x \cosh y - j \sin x \sinh y$$

例 3.17

求使下式成立的值

• (a) $\sin[\frac{1}{4}\pi(1 + j)]$ (b) $\sinh(3 + j4)$
• (c) $\tan(\frac{\pi}{4} - j3)$ (d) $z$ 使得 $\cos z = 2$
• (e) $z$ 使得 $\tanh z = 2$