解答 (a) 我们可以使用恒等式

$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

并得到

$$\sin\left(\frac{1}{4}\pi + j\frac{1}{4}\pi\right) = \sin\frac{1}{4}\pi \cos j\frac{1}{4}\pi + \cos\frac{1}{4}\pi \sin j\frac{1}{4}\pi$$

这里 $\sin\frac{1}{4}\pi$ 和 $\cos\frac{1}{4}\pi$ 按通常方式求值（ $= \sqrt{\frac{1}{2}}$ ），同时我们利用结果 (3.14a, b) 来得到

$$\cos j\frac{1}{4}\pi = \cosh\frac{1}{4}\pi \quad \text{and} \quad \sin j\frac{1}{4}\pi = j \sinh\frac{1}{4}\pi$$

给出

$$\begin{aligned} \sin\left[\frac{1}{4}\pi(1 + j)\right] &= \sin\frac{1}{4}\pi \cosh\frac{1}{4}\pi + j \cos\frac{1}{4}\pi \sinh\frac{1}{4}\pi \ &= (0.7071)(1.3246) + j(0.7071)(0.8687) \ &= 0.9366 + j0.6142 \end{aligned}$$

(b) 利用恒等式

$$\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$$

我们得到

$$\sinh(3 + j4) = \sinh 3 \cosh j4 + \cosh 3 \sinh j4$$

利用结果 (3.13a, b)，可得

$$\begin{aligned} \sinh(3 + j4) &= \sinh 3 \cos 4 + j \cosh 3 \sin 4 \ &= (10.0179)(-0.6536) + j(10.0677)(-0.7568) \ &= -6.548 - j7.619 \end{aligned}$$

(c) 利用恒等式

$$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$$

我们得到

$$\tan\left(\frac{1}{4}\pi - j3\right) = \frac{\tan\frac{1}{4}\pi - \tan j3}{1 + \tan\frac{1}{4}\pi \tan j3}$$

再利用结果 (3.14c) 和 $\tan\frac{1}{4}\pi = 1$ ，可得

$$\begin{aligned} \tan\left(\frac{1}{4}\pi - j3\right) &= \frac{1 - j\tanh 3}{1 + j\tanh 3} = \frac{(1 - j\tanh 3)^2}{1 + \tanh^2 3} \ &= \frac{1 - \tanh^2 3}{1 + \tanh^2 3} - j \frac{2 \tanh 3}{1 + \tanh^2 3} \ &= \frac{1}{\cosh^2 3 + \sinh^2 3} - j \frac{2 \sinh 3 \cosh 3}{\cosh^2 3 + \sinh^2 3} \ &= \frac{1}{\cosh 6} + j \frac{\sinh 6}{\cosh 6} = 0.005 - j1.000 \end{aligned}$$