(d) 写 $z = x + jy$ ，我们有

$$2 = \cos(x + jy)$$

展开右边得到

$$\begin{aligned} 2 &= \cos x \cosh y - \sin x \sin y \ &= \cos x \cosh y - \sin x (j \sinh y) \ 2 &= \cos x \cosh y - j \sin x \sinh y \end{aligned}$$

将等式两边的实部和虚部分别相等，得到

$$2 = \cos x \cosh y$$

和

$$0 = \sin x \sinh y$$

后一个等式意味着要么 $\sin x = 0$ 要么 $y = 0$ 。如果 $y = 0$ 那么第一个等式意味着 $2 = \cos x$ ，所以显然这不是解，因为 $x$ 是一个实数。另一种情况， $\sin x = 0$ ，意味着 $x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \dots$ ，因此

$$2 = \cos(\pm n\pi) \cosh y, \quad n = 0, 1, 2, \dots$$

这给出

$$\begin{aligned} 2 &= \cos n\pi \cosh y \ &= (-1)^n \cosh y \end{aligned}$$

但是 $\cosh y \geq 1$ ，所以 $n$ 必须是偶数。因此使得 $z$ 满足 $\cos z = 2$ 的值为

$$\begin{aligned} z &= \pm 2n\pi \pm j \cosh^{-1} 2, & n &= 0, 1, 2, \dots \ &= \pm 2n\pi \pm j(1.3170) \end{aligned}$$

(e) 写出 $z = x + jy$ 我们得到

$$\tanh(x + jy) = 2$$

这意味着

$$\sinh(x + jy) = 2 \cosh(x + jy)$$

将两边展开可得

$$\sinh x \cosh jy + \cosh x \sinh jy = 2 \cosh x \cosh jy + 2 \sinh x \sinh jy$$

或

$$\sinh x \cos y + j \cosh x \sin y = 2 \cosh x \cos y + 2j \sinh x \sin y$$

$$\sinh x \cos y = 2 \cosh x \cos y$$

$\cosh x \sin y = 2 \sinh x \sin y$