由于 $\sinh x \neq 2 \cosh x$ 对于实数值 $x$ , $\cos y = 0$ 因此

$$y = (2n + 1)\pi/2 \text{ for } n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

这意味着 $\sin y \neq 0$ , 从而 $\tanh z = \frac{1}{2}$ 。于是

$$\begin{aligned} z &= \tanh^{-1}\frac{1}{2} + j\frac{2n+1}{2}\pi, & n &= 0, \pm 1, \pm 2, \dots \ &= \frac{1}{2}\ln 3 + j\frac{2n+1}{2}\pi, & n &= 0, \pm 1, \pm 2, \dots \end{aligned}$$

利用恒等式 92.440。

3.2.10 复数的对数

考虑方程

$$z = e^w$$

记 $z = x + jy$ 和 $w = u + jv$ , 我们有

$$\begin{aligned} x + jy &= e^{u+jv} = e^u e^{jv} \ &= e^u (\cos v + j \sin v), \quad \text{by Euler's formula} \end{aligned}$$

比较实部和虚部，

$$x = e^{u'} \cos v \quad \text{and} \quad y = e^{u'} \sin v$$

将这两个方程平方并相加，得

$$x^2 + y^2 = e^{2u}(\cos^2 v + \sin^2 v) = e^{2u}$$

因此

$$u = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) = \ln |z|$$

将两式相除，

$$\tan v = \frac{y}{x}$$

由此以及 $x = e^{i\varphi} \cos \varphi$

$$v = \arg z + 2n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

于是

$$v = \ln |z| + j \arg z + j2n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

我们只选取这些解中的一个来定义复数 z 的对数，写作

$$\ln z =\ln|z|+j\arg z \tag{3.15}$$