例 3.18 计算 $\ln(-3 + j4)$ 写成如下形式 $x + jy$ .

解

$$|-3 + j4| = \sqrt{9 + 16} = 5$$

表 3.18 计算 $$\ln(-3 + j4)$$ 写成如下形式 $x + jy$ 。 解 $|-3 + j4| = \sqrt{(9 + 16)} = 5$
$\arg(-3 + j4) = \pi - \tan^{-1}\frac{4}{3} = 2.214^\circ$

因此由 (3.15)

$$\ln(-3 + j4) = \ln 5 + j2.214 = 1.609 + j2.214$$

28 利用 (3.11a, b) 中给出的 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 的指数形式，证明以下三角恒等式：

(a) $$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

(b) $$\sin^3\theta = \frac{3}{4}\sin\theta - \frac{1}{4}\sin 3\theta$$

29 用以下形式表示 $x + jy$

(a) $$\sin(\frac{5}{6}\pi + j)$$                      (b) $\cos(j\frac{3}{4})$

(c) $$\sinh[\frac{\pi}{3}(1 + j)]$$      (d) $\cosh(j\frac{\pi}{4})$

30 解 $z = x + jy$ 当

(a) $$\sin z = 2$$      (b) $\cos z = j\frac{3}{4}$

(c) $$\sin z = 3$$      (d) $\cosh z = -2$

31 证明

(a) $$\ln(5 + j12) = \ln 13 + j1.176$$

(b) $$\ln(-\frac{1}{2} - j\frac{1}{2}\sqrt{3}) = -j\frac{2\pi}{3}$$

32 记 $\tanh(u + jv) = x + jy$ ，其中 $x, y, u$ 和 $v$ 为实数，用 $x$ 和 $y$ 表示并确定 $u$ 和 $v$ 。因此求出 $\tanh(2 + j\frac{1}{4}\pi)$ 的形式为 $x + jy$ 。

33 在某条长度为 $l$ 的电缆中，当一端升至电位 $I_0$ 而另一端接地时，发送端的电流 $V_0$ 由下式给出

$$I_0 = \frac{V_0}{Z_0} \tanh Pl$$

计算 $I_0$ 当 $V_0 = 100$ , $Z_0 = 500 + j400$ , $l = 10$ 和 $P = 0.1 + j0.15$ .

3.2.11 习题

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

在 MATLAB 中，复变量的函数可以像实变量的函数一样轻松求值。例如，对于例 3.17 (a) 和 (b)，输入

$$\sin((pi/4) * (1 + i))$$ 返回答案 $0.9366 + 0.61421$

而输入

sinh(3 + 4i) 返回答案 $$-6.5481 - 7.6192i$$

验证了给定解答中得到的答案。类似地，对于例 3.18，输入

$$\log(-3 + 4i)$$ 返回答案 $1.6094 + 2.2143i$

验证了解答中得到的答案。