3.3 复数的幂

在前面的章节中，我们已经讨论了普通算术（包括 $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ ）向复数的推广。现在我们将算术运算扩展到包括幂运算。

3.3.1 棣莫弗定理

由 (3.10)，复数 $z$ 可以用它的模 $r$ 和辐角 $\theta$ 表示为指数形式

$$z = re^{j\theta}$$

利用指数法则和指数函数的性质 (2.33a)，对任意 $n$ ,

$$z^n = r^n(e^{j\theta})^n = r^n e^{j(n\theta)}$$

我们有

$$z^n = r^n(\cos n\theta + j \sin n\theta) \quad (3.16)$$

使得 $1 - j$ 这个结果被称为棣莫弗定理。

例 3.19 将

表示为

的形式 $r(\cos \theta + j \sin \theta)$ 从而求值 $(1 - j)^{12}$ 。

解答 由例 3.7(b) $|1 - j| = \sqrt{2}$ 以及 $\arg(1 - j) = -\frac{1}{4}\pi$ 因此

解答 由例 3.7(b)

$$|1 - j| = \sqrt{2} \quad \text{and} \quad \arg(1 - j) = -\frac{1}{4}\pi.$$

因此

例 3.7(b) $$|1 - j| = \sqrt{2}$$ 以及 $\arg(1 - j) = -\frac{1}{4}$ 在 $$1 - j = \sqrt{2}[\cos(-\frac{1}{4}\pi) + j \sin(-\frac{1}{4}\pi)] = \sqrt{2}(\cos\frac{1}{4}\pi - j \sin\frac{1}{4}\pi)$$

$$(1 - j)^{12} = (\sqrt{2})^{12}(\cos\frac{1}{4}\pi - j \sin\frac{1}{4}\pi)$$ h，利用 de

于是

$$(1 - j)^{12} = (\sqrt{2})^{12}(\cos \frac{1}{4}\pi - j \sin \frac{1}{4}\pi)^{12}$$

利用棣莫弗定理 (3.16)，可得

$$\begin{aligned} (1 - j)^{12} &= 2^6[\cos(12 \times \frac{1}{4}\pi) - j \sin(12 \times \frac{1}{4}\pi)] \ &= 2^6(\cos 3\pi - j \sin 3\pi) \ &= 2^6(-1 - j0) \ &= -64 \end{aligned}$$

最常见的是，我们利用棣莫弗定理求如下复数的根： $\sqrt[n]{z}$ 和 $^{3/2}\sqrt{z}$ 。更一般地，我们想求 $z^{1/n}$ ，即 $n$ 次根，其中 $n$ 是自然数。令 $w = z^{1/n}$ ，我们看到 $z = w^n$ ，并且由 (3.16)，