$$w^n = R^n(\cos n\phi + j \sin n\phi)$$ , 其中 $|w| = R$ 且 $\arg w = \phi$

$$z = r(\cos \theta + j \sin \theta), \quad \text{where } |z| = r \text{ and arg } z = \theta$$

在该等式中比较实部和虚部 $z = w^n$ ，我们推出

$$r \cos \theta = R^n \cos n\phi$$

且

$$r \sin \theta = R^n \sin n\phi$$

将这两个方程平方后相加得 $r^2 = R^{2n}$ ；即， $R = r^{1/n}$ 。将此值代入方程得

$$\cos \theta = \cos n\phi$$

且

$$\sin \theta = \sin n\phi$$

这组联立方程有无穷多个解，因为 $2\pi$ 正弦函数和余弦函数的周期性。因此

$$n\phi = \theta + 2\pi k$$ ，其中 $k$ 是一个整数

且

$$\phi = \frac{\theta}{n} + \frac{2\pi k}{n}, \quad \text{where } k = 0, 1,-1,2,-2,3,-3,\dots$$

将这些值代入 $R$ 和 $\phi$ 代入 $w$ 的公式中，得到

$$z^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right) + j \sin\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right) \right] \quad (3.17)$$

其中 $k$ 是一个整数。该表达式恰好给出 $n$ 个不同的根，对应于 $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ . 的值与 $k = n$ 的值相同， $k = 0$ 的值与 $k = n + 1$ 的值相同， $k = 1$ ，依此类推。 $n$ 的各个值 $z^{1/n}$ 均匀分布在半径为 $r^{1/n}$ 的圆上，其圆心为阿甘德图的原点。此外，各辐角按等差数列递增，因此将这些根在圆上依次连接，便构成该圆的内接正多边形。

方程 (3.17) 也可以写成指数形式

$$z^{1/n} = r^{1/n} e^{j(\theta/n + 2\pi k/n)}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1 \quad (3.18)$$

例 3.20 已知 $z = -\frac{1}{2} + j\frac{1}{2}$ ，求

(a) $$z^{1/2}$$                      (b) $z^{1/3}$

并在阿甘德图上显示这些根。

解答 我们首先将 $z$ 表示为极坐标形式。

由于 $r = |z| = \sqrt{(\frac{1}{4} + \frac{1}{4})} = 2^{-1/2}$ ，且 $\theta = \arg(z) = \pi - \tan^{-1} 1 = \frac{3}{4}\pi$ ，我们有

$$z = 2^{-1/2}(\cos \frac{3}{4}\pi + j \sin \frac{3}{4}\pi)$$