图 3.8
例 3.20 的根在阿尔冈图（Argand 图）上的表示。

(a) 由 (3.17)

$$\begin{aligned} z^{1/2} &= r^{1/2} \left[ \cos\left(\frac{\theta}{2} + \frac{2\pi k}{2}\right) + j \sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{2\pi k}{2}\right) \right], \quad k = 0, 1 \ &= 2^{-1/4} [\cos(\frac{3}{8}\pi + \pi k) + j \sin(\frac{3}{8}\pi + \pi k)], \quad k = 0, 1 \end{aligned}$$

因此我们得到两个平方根：

$$z^{1/2} = 2^{-1/4} (\cos \frac{3}{8}\pi + j \sin \frac{3}{8}\pi) \quad (\text{for } k = 0)$$

和

$$z^{1/2} = 2^{-1/4} (\cos \frac{11}{8}\pi + j \sin \frac{11}{8}\pi) \quad (\text{for } k = 1)$$

如图 3.8(a) 所示。这些可以数值计算，分别得到（保留 4 位小数） $z = 0.3218 + j0.7769$ 和 $z = -0.3218 - j0.7769$ 。

(b) 由 (3.17)

$$\begin{aligned} z^{1/3} &= r^{1/3} \left[ \cos\left(\frac{\theta}{3} + \frac{2\pi k}{3}\right) + j \sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{2\pi k}{3}\right) \right], \quad k = 0, 1, 2 \ &= 2^{-1/6} [\cos(\frac{1}{4}\pi + \frac{2}{3}\pi k) + j \sin(\frac{1}{4}\pi + \frac{2}{3}\pi k)], \quad k = 0, 1, 2 \end{aligned}$$

因此我们得到三个立方根：

$$z^{1/3} = 2^{-1/6} (\cos \frac{1}{4}\pi + j \sin \frac{1}{4}\pi) \quad (\text{for } k = 0)$$

$$z^{1/3} = 2^{-1/6} (\cos \frac{11}{12}\pi + j \sin \frac{11}{12}\pi) \quad (\text{for } k = 1)$$

和

$$z^{1/3} = 2^{-1/6} (\cos \frac{19}{12}\pi + j \sin \frac{19}{12}\pi) \quad (\text{for } k = 2)$$

如图 3.8(b) 所示。注意这三个根均匀分布在半径为 $2^{-1/6}$ 圆心位于原点。