3.4 复平面上的轨迹

轨迹（复数为 loci）是具有特定性质的点的集合。例如，圆是平面内到一个定点（圆心）距离固定（半径）的点的轨迹。该性质可以用文字或代数方式描述。轨迹在工程领域中经常出现，从运动机械周围安全防护装置的设计到飞机机翼截面的设计。将复数表示为平面上的点的阿甘德图，常常使得用复变量非常简洁地表示复杂轨迹成为可能，这简化了工程分析。这种情况出现在广泛的工程问题中，从水通过大坝的渗流到微电子器件的设计。

3.4.1 直线

使用复数表示直线有很多种方法。我们将通过若干例子来说明这些方法。

例 3.25 描述由下式给出的 z 的轨迹

(a) $$\text{Re}(z) = 4$$                      (b) $\arg(z - 1 - j) = \pi/4$

(c) $$\left| \frac{z - j2}{z - 1} \right| = 1$$ (d) $\text{Im}((1 - j2)z) = 3$

解 (a) 这里 $z = 4 + jy$ 对于任意实数 $y$ ，因此该轨迹是方程为 $x = 4$ 的竖直直线，如图 3.11(a) 所示。

(b) 这里 $z = 1 + j + r(\cos \pi/4 + j \sin \pi/4)$ 对于任意正的（ $> 0$ ）实数 $r$ ，因此该轨迹是一条与正方向成角 $\pi/4$ 的半射线 $x$ 方向且以该点为终点 $(1, 1)$ 不包含（因为 $\arg 0$ 没有定义）。用代数方法可以写成 $y = x$ , $x > 1$ ，如图 3.11(b) 所示。

(c) 此时的方程可以写成

$$|z - j2| = |z - 1|$$

回顾模的定义，我们可以将其改写为

Ë[x2 + (y − 2)2 ] = Ë[(x − 1)2 + y2 ]

两边平方并展开，得到

$$x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 2x + 1 + y^2$$

化简为

$$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}$$

(a) 直线 $x = 4$

(b) 半直线 $y = x, x > 1$

y 图 3.11